蜀國閱兵大典中，孔明如何用陣形變化數學題對關羽、馬超使出心理戰？-賴以威

答錯數學題的馬超有機會為自己扳回一城嗎？（圖／wiki）

我們喜歡看歷史故事，不同角色在時代的舞台上粉墨登場，激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目，不同公式在抽象的課本中擠成一團，編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看，歷史故事裡處處是數學題目，好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多，數學題目做得少。這次讓我們平衡一下，來一段數感演義。

問起《三國演義》最喜歡的人物，很多人會選長坂坡單騎救主的趙雲，應該也有不少人選火燒赤壁的周瑜，或三分天下的諸葛亮。趙雲是武將，周瑜與孔明是軍師，三國演義裡武將在戰場上縱橫四方，好不威風。軍師往往只坐在大營裡看地圖、等探子回報後，跟武將剛好相反，越厲害的越一派悠哉，偶爾上第一線，卻還像黃花大閨女一樣坐轎子，搖扇子討個清涼。

仗打贏了，軍師功勞不比武將小；打輸了，軍師被請到敵營勸降，武將運氣差一點得領便當，躺在沙場上哪兒都不知道。這好比一段西洋故事：雞跟豬合夥開早餐店，平分利潤。可雞只提供（contribute）雞蛋，豬卻得奉獻（commit）的生命。

軍師是戰場上的白領階級，靠專業知識分析、決策，得到較優渥的報酬，確保較高的生存機率。只是，他們的專業究竟是什麼呢？

答案是數學。

今天讓我們進入《三國演義》中劉備攻下西蜀的劇情，搭配數學古籍《數書九章》裡的題目，展現出軍師「布陣」時所用到的複雜數學技巧。

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卻說劉璋接連收到被劉備軍打敗的壞消息，心情沉重，好不容易聽到馬超帶救兵來，登上城門準備跟求援，卻得到馬超的回答：

「吾本領張魯兵來救益州，誰想張魯聽信楊松讒言，反欲害我，今已歸降劉皇叔。公可納士拜降，免致生靈受苦。如或執迷，吾先攻城矣！」

馬超竟然陣前叛變！劉璋無力支撐，決定無血開城投降。於是，西川的統治權正式從劉璋移轉到劉備手上，三分天下大勢抵定，劉備自封益州牧，手下文武百官一併封賞，最重要的當然是軍師諸葛亮及諸位將軍。

關雲長為盪寇將軍漢壽亭侯，張飛為征遠將軍新亭侯，趙雲為鎮遠將軍，黃忠為征西將軍，魏延為揚武將軍，馬超為平西將軍。

劉備遣人殺牛宰馬犒賞士兵，又開放糧倉讓百姓吃飽。諸葛亮擬定完善的治國條例，穩定西川局勢。眼看財政上軌道，孔明建議劉備，不妨來一場閱兵大典，提升士氣，更有助整合西川與荊州的部隊。劉備點點頭，孔明的話怎麼能不聽呢。

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問步兵五年，年一萬二千五百人。作方陣，人立地方八尺。欲變為前後銳陣，陣後闊今多原方面半倍，陣間仍容騎路五丈以上，順銳形出入。求方陣面，銳陣長，及前後銳陣各步兵幾何？——《方變銳陣•數書九章》

這日，孔明招集張飛、趙雲、馬超、黃忠四人，命令他們各領12,500士兵。孔明說：
「請4位將軍把士兵統整起來，加上我的親兵12,500人，排成正方形陣容。這是半個月後閱兵大典的進場隊形。」
「5支隊伍，每支12,500人，總計62,500人。」
馬超算了算，回頭吩咐馬岱：
「最後的方陣每排250人，你去指揮隊伍。」
馬岱應聲而去，張飛在一旁故意露出敬佩的表情：
「好厲害噢，知道62,500……」
「開根號。」趙雲提醒張飛。
「噢，謝謝。」

張飛用自以為很小聲，但其實全場人都聽得到的音量跟趙雲道謝，轉頭跟馬超說：
「62,500開根號是250人，看來馬兒不只武藝跟俺差不多，數學也跟俺有得比嘛。」
「這是讚美還是嘲笑？」
「很明顯是讚美吧！」
馬超聳聳肩膀，西涼沒什麼軍師，行軍打仗他常得自己布陣，久而久之也會一些計算。當然比不過孔明，不過其他人嘛，哼，是該讓大家見識一下錦馬超的智者形態了！

五支隊伍排成方形後，孔明告訴大家：
「行進間，隊伍將變換成銳陣（正三角形）。三角形邊長是方陣的1.5倍。」
「每排250×1.5=375人。」
孔明對馬超投以讚許的眼神。剛加入劉備軍，馬超像來到新班級的轉學生，想討好老師。孔明繼續說：
「這時再有一組騎兵加入，所以銳陣中間要開一條至少5丈寬的騎兵跑道。銳陣將被分割成前後兩陣。我要求，後陣底邊的人數，差不多要是前陣左右兩側底邊人數的兩倍。」

孔明拿出示意圖：

眾將軍圍在示意圖周圍看，好學生馬超發言：
「士兵間距0.8丈，跑道左右加起來10丈寬，差不多可以站13個人。原本底是375人，少了13個人的位置，只能站362人。假如後陣底邊是182人，前陣兩邊各90人。因為是正三角形，每往前一排少1人，直到正三角形尖端那排為1人。這樣就可以了。」
馬超強勢追極，積極表現，
「後陣底邊182人，第一排1人，是每排少一人的等差數列，共有182項，帶入等差公式182×(182+1)/2=16,653人，這是後陣的人數。」
「前陣就是62,500-16,653=45,847人。」
馬超一口氣講完，卻沒聽孔明老師的鼓勵。

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眾人抬頭一看指揮台，只見孔明身旁多了一位關平，他帶關羽的信從荊州入川，信中提到久聞馬超武藝過人，想入川來跟他比武一番。荊州主帥離開了那還得了，劉備看完信很煩惱，便叫關平來找孔明。好在孔明不僅數學好，心理學也略懂，他提筆寫下：

以亮度之，孟起雖雄烈過人，不過黥布，彭越之徒耳；當與翼德並驅爭先，猶末及美髯公之絕倫超群也。今公受任荊州，不為不重；倘一入川，若荊州有失，罪莫大焉。惟冀明照。

張飛走上指揮台，一把拿過孔明的信，讀完後說：
「馬兒，軍師也說咱們差不多啊，這是讚美，讚美。」
馬超沒搭理他，等著孔明評比他的佈陣，張飛這粗人，才沒辦法算得這麼精準。
孔明笑著奪回信件，交給關平。這時趙雲忽然脫口而出：
「馬超，你的算法有問題。」
他指著前陣解釋：
「倘若不留騎兵通道，銳陣擺滿是375×(375+1)/2=70,500人。前陣人數就是70,500人，扣掉包含跑道與後陣的中型三角形人數。中型三角形邊長是182+13=195，換算起來有19,110人的空間。所以照你的規劃，總共需要：
70,500-19,100=51,400人。
但目前排完後陣只剩4萬5千多人，還差5千多人。」

馬超愣住了，趙雲說的沒錯，那該怎麼修正。他腦海裡飛過一堆數字跟算式，趙雲只是提出錯誤，還沒想到解決方法，如果他能想到，依然有表現機會。

一直沒說話的黃忠開口：
「馬超將軍的跑道寬度太小了。如果放寬跑道大於5丈，需要的總士兵數就能減少。擺滿是70,500人，現在只有62,500人。相當於假設跑道站人，要站70,500-62,500=8000人。所以跑道得放寬成……」

這老頭子怎麼那麼厲害！沒關係，老頭子只是提出概念，還沒轉換成數學，年紀大的人講講方法沒問題，但要變成精密的數學就是另一回事，馬超腦袋全力運轉。奈何黃忠沒留給他多少時間：
「把跑道分成三個區塊，最上端的三角形，還有兩側各一塊平行四邊形。假設跑道一排站x人，三角形站2x(2x+1)/2=x(2x+1)人，一塊平行四邊形站(8000- x(2x+1))/2=4000-x(2x+1)/2。平行四邊形的長邊剛好是後陣的邊長，對應的高就是x人，所以後陣邊長是：4000/x-(2x+1)/2」

不妙，一元未知方程式，黃忠已經列了一半，再用x寫出另一種後陣邊長的表示法，一切就結束了。數學焦慮襲來，讓他連思考都變得困難。
「前陣跟後陣底排的人數要差不多，可以列：4000/x-(2x+1)/2= (375-2x)/2 ？（註１）」

不虧是劉備軍第一使槍高手，趙雲再補上一槍。馬超只剩最後一絲機會，得先一步算出來，方能扳回一城。

「x約是21，帶入4000/21-43/2，可得後陣邊長169人，前陣兩側各(375-168-42)/2=82人。」
張飛若無其事的說完這句話，最後還打了一個大呵欠。馬超眼睛瞪得比張飛還大，不可思議的盯著張飛，這位巨漢的數學竟然這麼好。張飛伸手搭馬超肩膀：
「俺以前不會算這些，還不是軍師教俺的。馬兒別洩氣，咱們一起帶兵打仗，以後軍師也會多教你一些。」
他拍拍馬超：
「所以剛不是說了嗎，跟俺差不多是讚美啊。」
張飛放開嗓子大笑，不遠處1位士兵被震落馬下（註2），被其他士兵帶去休息。
「三爺不要笑那麼開心啦！」
一陣混亂中，沒人瞧見張飛把手掌中的白色錦囊塞進盔甲裡。
孔明在指揮台上開心地搖著扇子。其實，方才他寫了兩封信，用了兩次心理戰。一次捧了捧關羽，讓他留在荊州。一次，用張飛挫了挫馬超銳氣，讓他知道自己只是一位將軍，不再是雄霸一方的西涼諸侯了。

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註1：如果你夠細心，會發現等式右邊帶x=21，會得到166.5，跟右邊的169.0不一樣。這是因為原來的等式，x可以是任意實數，不一定要是整數。但孔明應該不會為了布一個陣，把士兵砍成一半。

註2：按照孔明給張飛的錦囊排法，最後排出來需要62,499人，少了一人。所以他還安排了一位被張飛笑聲震倒的傢伙，他其實是馬謖喬裝的親兵。