曹操如何用「普林演算法」找到官渡之戰的最佳縱火路線？-賴以威

曹操官渡破袁紹（圖／wiki）

我們喜歡看歷史故事，不同角色在時代的舞台上粉墨登場，激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目，不同公式在抽象的課本中擠成一團，編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看，歷史故事裡處處是數學題目，好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多，數學題目做得少。這次讓我們平衡一下，來一段數感演義。

三國其實很有趣之2：官渡之戰

《三國演義》中最關鍵的三大戰役莫過於阻擋曹操南下的赤壁大戰，毀滅劉備復仇之路的夷陵之役，還有決定曹操與袁紹誰能稱霸中原的「官渡之戰」。其中，官渡之戰因為少了劉備軍，打贏的又是被設定成反派梟雄的曹操，相較之下沒有描述得那麼轟轟烈烈。但其實這是一場（其實三場都是）少勝多，多算勝少算的經典戰役。

會戰中，曹操靠著火燒袁紹烏巢糧倉，一口氣逆轉戰局，還拉到張郃投誠。到底曹操「多算」了什麼，今天讓我們進到三國演義，空想補齊這段利用數學，成功突襲烏巢的過程。

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「公何輕生至此？袁紹不納直言，後必為曹操所擒。公既與曹公有舊，何不棄暗投明？」只這兩句言語，點醒許攸；於是許攸逕投。
後人有詩歎曰：本初豪氣蓋中華，官渡相持枉歎嗟。若使許攸謀見用，山河豈得屬曹家？卻說許攸暗步出營，逕投曹寨……

許攸來到曹操大寨，曹操開心得鞋子都沒穿就出來迎接，請教他有沒有什麼方法能打敗袁紹。許攸沒回答這問題，反而先問曹操：

「你剩多少軍糧？」
「一年。」
「你剩多少軍糧？」
「半年。」
「你剩多少軍糧？」
「3個月。」
「所以現在是首項為1年，公比1/2的等比數列就是了！少騙我，你根本沒軍糧了！」

許攸從懷裡拿出曹操跟在後方荀彧求援的信件，這下曹操才驚覺原來信早在半路被袁紹攔截。這下慘了，不僅求援失敗要斷糧，袁紹也知道這一切了。不過，曹操轉念一想，在這種己方必敗的情況下，許攸還帶著這封信來投靠，自然是想好反撲策略了。曹操握住許攸的手，懇求他的幫忙。許攸慢條斯理地回答：

「我說啊，你打袁紹是以少對多，不求速戰速決，根本是找死。好在我有一條計策，包你三天內能讓袁紹百萬大軍，不攻自破。」

許攸停了幾秒，整個大寨靜得只聽得到許褚的呼吸聲。許攸緩緩吐出四個字：

「火燒烏巢。」

原來，烏巢是袁紹大軍的糧倉安置之地，卻只派了一個比張飛還愛喝酒的淳于瓊駐守。許攸的策略是，叫曹操帶一隻精兵，假扮成袁紹部將蔣奇的手下去幫忙護糧，趁機一把火燒了整個烏巢。少了烏巢糧草，袁紹比曹操更快撐不住。

「就這麼辦！」

曹操大喜，立刻規劃奇襲。

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操笑曰：「吾已籌之熟矣。」

不是所有人都像曹操這樣相信一個剛投降過來的許攸。張遼就擔心袁紹會趁曹軍偷襲時，反過來趁虛來襲。曹操當然也知道，他早就規劃好一切，留下軍師荀攸、賈詡、曹洪守大寨：

「許攸你就在曹洪旁邊幫忙吧。」

他還埋下伏筆，要是袁紹真的突襲過來，兩軍第一個陣亡的就是許攸。不僅如此，曹操還叫夏侯兄弟、曹仁跟李典各自帶一隻軍隊埋伏在主寨左右，反過來偷襲袁紹的來軍。簡單的幾個安排，就看得出來三國第一人的心機有多重。

但也因為這樣，曹操能調動奇襲的部隊只剩5000兵馬，還有張遼、許褚、徐晃、于禁等四位將領。烏巢是袁紹百萬大軍的糧倉之處，就算駐軍不多，要燒光整個糧倉也不是一件容易的事情。眾人見曹操胸有成竹的模樣，也不敢多說什麼。

當夜，曹操全軍換上袁紹軍的裝扮，每個人揹著乾柴乾草，靜悄悄地往烏巢出發。經過袁紹軍駐防的地方，都只靠「我們是蔣奇將軍派來幫忙烏巢護糧的部隊」，袁軍看見是自己人的旗幟，便也沒多想就放行。就這麼順利地來到烏巢，許褚放下他扛的那捆，是別人三倍份量的薪柴，用自以為放低的音量大喊：

「俺先去砍了淳于瓊！」
「噓！！」

曹操叫許褚安靜，吩咐于禁攤開一張地圖。

烏巢的七大糧倉與沿路駐軍數目

「這是烏巢七個大糧倉的位置，我們現在在甲地。」

這才是曹操的最後一手，他早把烏巢的細節摸得一清二楚。張遼問：

「每條路線上的數字代表的是？」
「沿路上的敵軍數目。」

曹操回答完接著說：

「乙是淳于瓊看守的最大糧倉。你看，如果貿然直衝大本營，我們會遭受到極強的抵抗。就算殺掉淳于瓊，剩下的軍力也無法燒掉全部的糧倉。」
「應該先分頭去戊跟己。」

張遼說，曹操點點頭。他的安排正是由他跟徐晃、張遼、許褚先去戊，于禁去己。于禁不解：

「只有我去己？那我到了己之後不用推進到乙或壬前進嗎？」
「己到乙有8千敵軍，比丙到乙多還多1千。同樣的道理，己到壬有破萬敵軍，」

曹操頓了頓，

「但如果我們另一支部隊，從戊出發，經過丙殺到乙，斬了淳于瓊後，趕快到丁跟壬。這樣就能遇到最少的敵軍抵抗，最可能成功攻下7座糧倉。」

曹操的規劃

眾人發出「噢~~~~」的一聲，的確如此。張遼算了算，以這個狀況來說，只會遇到3萬5千人馬，以5000人突襲來說，以小博大是很有機會獲勝的。反過來說，如果貿然直接衝主寨，再從主寨往其他糧倉襲擊，最高有可能得面對5萬7千敵軍，這還不包括襲擊主寨後驚動全軍，讓各線的駐軍都移動起來的變化。曹操光是掐指計算，就讓敵軍少了2萬2千人，眾將在心底對他們的主公更增添了欽佩之意。

直擊主寨乙後的最糟狀況

※

就這樣，曹操吩咐一個小隊長駐守甲，跟于禁兩軍分開後，不花什麼力氣到了戊，再前進到丙。他讓徐晃留守丙點，自己帶著張遼、許褚往淳于瓊主寨前進。

時淳于瓊方與眾將飲了酒，醉臥帳中；聞鼓譟之聲，連忙跳起問：「何故喧鬧？」言未已，早被撓釣拖翻。眭元進、趙叡運糧方回，見屯上火起，急來救應。曹軍飛報曹操，說：「賊兵在後，請分軍拒之。」

沒想到這時候剛好眭元進、趙叡兩名敵將回來，曹操心裡大喊僥倖，還好有派徐晃跟于禁留守，暫時可以擋一擋。他要許褚留守主寨，自己跟張遼急速分頭攻打丁跟壬，一到現場，立刻點燃大火，其他據點的曹軍看見火光，也紛紛燒起來，一時間，整座烏巢陷入火海。

「回頭跟于禁徐晃會合！」

曹操一聲令下。

眾軍將無不爭先掩殺。一霎時，火燄四起，煙迷太空。眭、趙二將驅兵來救，操勒馬回戰。二將抵敵不住，皆被曹軍所殺，糧草盡行燒絕。淳于瓊被擒見操，操命割去其耳鼻手指，縛於馬上，放回紹營以辱之。

另一邊，袁紹聽聞軍情來報北方大火，知道是烏巢有失。這時他有兩個選擇，

全軍前往援救烏巢，提案者張郃。
分成兩路，一路救烏巢，一路攻打曹操主寨，提案者郭圖。

袁紹總是有辦法做出最壞的決定，他命令第一個提案者去執行第二個提案，要張郃率軍攻打曹操主寨。結果正中陷阱，不僅曹操有留荀攸防守，兩旁的伏兵更是把張郃和一同前往的高覽打得落花流水，郭圖害怕張郃回來跟他算帳，先一步跟袁紹說：

「一定是張郃沒有認真打才會打不贏。」

再去跟張郃說：

「主公要殺你了。」

一來一往，逼得張郃與高覽主動降曹。

二人倒戈卸甲，拜伏於地。操曰：「若使袁紹肯從二將軍之言，不至有敗。今二將軍肯來相投，如微子去殷，韓信歸漢也。」遂封張郃為偏將軍都亭侯，高覽為偏將軍東萊侯。二人大喜。

從烏巢大勝歸來的曹操，意外又獲得了這個禮物，收集全了~~神奇寶貝~~五子良將（張遼、樂進、于禁、張郃、徐晃）的最後一位。

紹急渡河，盡棄圖書車仗金帛，止引隨行八百餘騎而去。

這場烏巢大火，燒出了曹操一統北方的大局，自此袁紹再無反撲之力。這一切多虧了曹操選定的烏巢縱火路線。這套技巧在1700年後由捷克數學家亞爾尼克和美國科學家普林分別發現，後人稱之為普林演算法（Prim Algorithm），用來找出一張圖裡的最小生成樹（minimum spanning tree），意思是能用最低的成本，連結起圖裡面的每一個點。曹操就是找到了「烏巢」這張圖中的最小生成樹，才能僅憑著五千兵馬，成功的火燒烏巢。