關鍵是仰角啊！「轅門射戟」的幕後功臣如何助呂布一箭命中紅心？

轅門射戢的成功是才＋智的結果（圖／薛金擁油畫作品）

卻說紀靈起兵長驅大進，已到沛縣東南，扎下營寨。晝列旌旗，遮映山川；夜設火鼓，震明天地。玄德縣中，止有五千餘人，也只得勉強出縣，佈陣安營。忽報呂布引兵離縣一里、西南上扎下營寨。—《三國演義第十六回》

呂布發信邀請紀靈跟劉備到他營寨開趴。張飛關羽阻止劉備：「大哥不能去，三姓家奴一定有問題。」

「我向來對他不錯，他不會害我的。」劉備自我感覺良好地說，關張二人一臉無奈，想著大哥可能得吃銀杏了，他們就算跟呂布現在表面上不錯，但以前可是大打出手過。

劉玄德掣雙股劍，驟黃鬃馬，刺斜裡也來助戰。這三個圍住呂布，轉燈兒般廝殺。—《三國演義第五回》

果然，到了呂布那兒，椅墊都還沒坐熱，士兵就通報：「袁術大將紀靈來訪！」更！竟然想害我！劉備轉身要落跑，呂布安撫他，「放心，是我同時邀請兩位來聊聊，不用起疑心。」

當了那麼多年的戰神，這回想改行當和事佬？劉備哪能不起疑心。

幾分鐘後來的紀靈有一樣的反應。他一看見坐在寨中的劉關張，第一直覺就是呂布跟他們合作，這是場鴻門宴。他掉頭就走，動作比去餐廳看到前女友在跟別人約會還快，左右士兵攔不住紀靈。

這時，只見呂布一個箭步衝上前，抓住紀靈後領，就像拎小孩一樣把他提回來。

靈下馬入寨，卻見玄德在帳上坐，大驚，抽身便回。左右留之不住。呂布向前一把扯回，如提童稚。

劉關張三人都看呆了。紀靈身為袁術大將，身高看起來跟張飛差不多，怎麼會被呂布像抓小孩似地玩弄。

劉備冷靜下來想了想，好像也合理。呂布身高1丈，當時1丈為231公分。1丈有10尺，關羽、張飛、劉備三人身高各是9尺、8尺、7尺5，換算起來也都有208公分，185公分、173公分。就算紀靈有將近8尺，也矮呂布快50公分。

眼前的人是當年在虎牢關三打一也打不贏，是光靠一身武功就能影響全天下的戰神呂布。

劉備再次確認了這個事實。

§
酒宴在眾人一頭霧水下開始。喝了幾輪酒，呂布開口說：「兩邊看在我的面子上，這場戰就不要打了吧。」

紀靈立刻反對，指著劉備大聲說：「我奉主公命令帶十萬兵來抓他，怎麼可能說不打就不打。」

紀靈的語氣彷彿劉備已經是他的囊中之物，說抓就抓。張飛氣得拔劍怒罵：「我們雖然兵少，俺卻一點也沒把你放在眼裡，你敢動大哥俺就——」

兩人吵起來，呂布揮揮手，「我是來排解你們，不是來擺擂台給你們打架的。」

但這話顯然沒什麼用，張飛跟紀靈還是沒完沒了，滿腦子都準備來一場互相傷害。呂布耍帥不成，氣得叫左右士兵取來他的方天畫戟。眾人愣住，是怎樣，現在要大亂鬥嗎？呂布跟大家說：

「要打不打，交給老天爺決定吧。」

他命令士兵把方天畫戟插到軍營大門（轅門）口，士兵回報：「走去一趟是150步。」

呂布點點頭，對眾人說：「我如果一箭射中畫戟上的那一小支，就是老天要你們休兵。如果沒中，你們就去打個痛快。要是誰不聽我這番決定，我就立刻跟另一方合作。」

紀靈心想， 1步大概65~70公分，150步少說也有100公尺，從這邊看過去戟小支比一顆花生米還小，怎麼可能射中。

劉備畢竟比紀靈多讀了點書，他已經察覺到整件事情是呂布精心策畫。

不，與其說是呂布，不如說是呂布的軍師陳宮。陳宮評估保住劉備對他們最有利益，但又不能公開得罪袁術，所以才想了這個看似交給上天決定的轅門射戢。

「射戢的難度雖然高，但呂布的箭術本來就很好，臂力夠，精準度也高。加上陳宮的幫忙……」

劉備低聲問關羽，軍中沒軍師，大小事向來都是他們兩兄弟討論。關羽想了想說：「根據虎牢關的決鬥經驗，方天畫戟的小戟位置跟呂布此刻舉弓試射的高度差不多，先不考慮空氣阻力，這顯然是斜拋運動，起始點跟終點的垂直位置相同。呂布的臂力跟我差不多，射出去的箭速每秒應該有50公尺。」

劉備想，如果今天呂布的箭是水平射出去，箭2秒就到，只是根據重力加速度每秒10公尺（註），垂直距離降低20公尺，早就射到土裡去了，除非是站在瞭望台上。

劉備知道陳宮在這場大戲裡的角色了，他不僅策畫轅門射戟，還用數學協助呂布射中。身為曹操都肯定的謀士，陳宮的能力一定能幫呂布算出理論上仰角應該要幾度，才能順利射中畫戟。一想到這裡，劉備躍躍欲試，如果他也能算出來，那不就表示他智力能追上陳宮嗎？

「關鍵是弓箭往上的仰角。」

劉備說，他不會三角函數，只好用上唯一知道的邊長（3,4,5）直角三角形。

「如果呂布往上射的角度是37度，剛好水平方向的速度、垂直方向的速度、跟原本射箭的速度每秒50公尺形成（3,4,5）的直角三角形。水平速度是40m/s、垂直速度是30m/s……」

關羽否定了劉備的猜測。

「可是這樣2.5秒就跑了100公尺。但垂直方向每秒速度減慢10m/s，初速是往上30m/s，2.5秒後依然還有30-2.5×10=5m/s。箭會一直往上飛噢。」

的確，眼前呂布弓箭雖然朝上，幅度卻不大。劉備想破了頭還是想不出來，只見呂布右手一放，箭像流星似地在空中畫出一道完美的拋物線，正中畫戟。

後人有詩讚曰：

溫侯神射世間稀，曾向轅門獨解危。落日果然欺後羿，號猿直欲勝由基。虎筋弦響弓開處，雕羽翅飛箭到時。豹子尾搖穿畫戟，雄兵十萬脫征衣。

劉備對呂布命中的結果不感到意外，畢竟是人中呂布，後面又有陳宮扮演了「智」的角色。紀靈則睜大了眼睛不敢置信，張飛在一旁跟關羽低聲說：「他都嚇成這樣了，眼睛睜還是沒俺大。」

關羽用手肘推了張飛一下。過了半响，紀靈才說：「呂布將軍的話我不敢不聽，但回去要我怎麼跟主公交代？」

呂布斟了一大觥的酒給紀靈，笑說：「別怕，我寫信跟你老闆說。」

又喝了幾杯，紀靈實在沒興趣再待下去，跟呂布要了信就打道回府。

劉備跟呂布再三道謝，雖然危機解除了，但卻沒辦法發自內心開心起來。到底陳宮是怎麼算的，全天下又有多少人能跟陳宮一樣，在給定初速度、距離的情況下，能夠算出斜拋的角度該多少。

「搞不好天底下只有陳宮一個人會算吧。」關羽安慰大哥。

他們倆不會知道，1800年後的夷洲小島上，每一位十七歲的高中生都被要求要具備陳宮的能力，令初速度為ｖ、重力加速度ｇ、距離ｓ，則斜拋角度θ符合下列公式：

帶入數值，求出呂布弓箭的傾斜角度為arcsin(2/5)/2/pi*180，約是12度。

正當劉備與關羽在討論斜拋運動時，張飛腦袋裡還在想著別的事情：紀靈這小子敢用這種態度對大哥，他死定了。

又過了一陣子，劉備奉曹操之命攔截要去投靠袁紹的袁術，

正迎著先鋒紀靈至。張飛更不打話，直取紀靈。斗無十合，張飛大喝一聲，刺紀靈於馬下—《三國演義第二十一回》

張飛終於把紀靈從他的死亡筆記本上移除了。

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註：考生請用每秒9.8公尺。