想騙過司馬懿需要幾口灶？看孔明接班人如何鑽研出倍率無限分割的算式-賴以威

（圖／三國演義連環畫，繪者凌濤）

我們喜歡看歷史故事，不同角色在時代的舞台上粉墨登場，激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目，不同公式在抽象的課本中擠成一團，編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看，歷史故事裡處處是數學題目，好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多，數學題目做得少。這次讓我們平衡一下，來一段數感演義。

《三國演義》後半部可說是諸葛孔明跟司馬懿的戀愛對決史，孔明一再北伐（攻），司馬懿不斷抵抗（受），其中第四次北伐特別順利，先滅大司馬曹真，再大敗司馬懿，正要遙指長安時，劉禪卻聽信讒言，要孔明班師回朝。孔明不得已退兵，為防止司馬懿趁機追擊，他邊退兵，卻邊增添士兵吃飯用的爐灶，混淆司馬懿，令他搞不清楚士兵數目是增是減。這概念說起來容易，但該在何時增加爐灶，才能剛好被司馬懿的斥侯看見，讓他無從判斷？今天讓我們進到三國演義，空想補齊這段增加爐灶的過程。

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孔明笑曰：「吾受先帝託孤之重，安肯不傾心竭力以討賊乎？汝曹氏不久為漢所滅。汝祖父皆為漢臣，世食漢祿，不思報效，反助篡逆，豈不自恥？」懿羞慚滿面曰：「吾與汝決一雌雄！汝若能勝，吾誓不為大將！汝若敗時，早歸故里，吾並不加害！」孔明曰：「汝欲鬥將？鬥兵？鬥陣法？」懿曰：「先鬥陣法。」孔明曰：「先布陣我看。」

卻說三國筆戰王孔明寫信氣死曹真後，跟司馬懿兩軍對峙時，又講一堆pH值小於3的酸話，氣得司馬懿要跟孔明對決，正中孔明下懷。司馬懿佈了「混元一氣陣」，被孔明說：
「這叫我們家士官長來都會佈，算得了什麼。」

語畢，孔明擺起了八卦陣，叫司馬懿來闖。司馬懿不屑的說：
「不過就是八卦嘛，你知道八卦為什麼是8嗎，因為三條線，每條線有兩種可能，2的3次方就是8啊。」
「噢，你也知道二進位啊？對啊，八卦是3位元的2進位制。但如果你以為我的八卦陣只有3位元，那你就大錯特錯了。」

司馬懿愣了幾秒，他可沒學過什麼二進位制。他假裝聽懂，派了戴凌、張虎、樂琳三將，教他們破八卦陣之法，哪曉得孔明除了表面的八卦，每一卦還藏有八種變化，一共是64種變化。司馬懿的破陣法一點都不管用，沒兩下子戴凌全軍就被抓起來，被孔明剝光衣服，臉塗成RGB(0,0,0)的極致消光黑，嘲笑著送回魏營。司馬懿掛不住面子，親自率軍攻打八卦陣。兩軍才相會，孔明安排的關興跟姜維從後方殺出，大破司馬懿軍隊。

懿引三軍望南死命衝出。魏兵十傷六七。司馬懿退在渭濱南岸下寨，堅守不出。

旗開得勝，孔明率軍開心回到祁山大本營。這時，使者來報苟安也「終於」從永安送來糧草。苟安貪杯，整整遲到10天才送達。孔明見到苟安，臉色一沉：
「糧草是軍中大事，遲到三天就該問斬，你遲到了十天，還有什麼好說的！」

孔明向來執法嚴厲，愛將馬謖犯錯尚且斬了，苟安更不能放過。孔明令左右把苟安推出去斬時，一旁的楊儀建議：
「苟安是李嚴的人，打狗看主人，且戰事錢糧多從他們那兒來。斬了苟安，只怕以後沒人敢幫我們運糧了。」

孔明想想也是，改成打苟安八十大板，趨之別院。沒想到苟安懷恨在心，連夜投降司馬懿。正在煩惱該如何打這場戰的司馬懿，靈機一動，決定來一場離間計。

懿曰：「汝可回成都布散流言，說孔明有怨上之意，早晚欲稱為帝，使汝主詔回孔明，便是汝之功。」
茍安允諾，逕回成都，見了宦官，布散流言，說孔明自倚大功，早晚必將篡國。宦官聞知大驚，即入內奏帝，細言前事。後主驚訝曰：「似此如之奈何？」宦官曰：「可詔還成都，消其兵權，免生叛逆。」

劉禪聽了宦官的話，不顧蔣琬勸告，派出使者連夜到前線，要孔明班師回朝。孔明接過聖旨，仰天長嘆：
「劉禪主公年紀小，一定是旁邊有人散布謠言。我北伐正順利，為什麼要回去？！不回去，是違抗皇上命令。可如果回去了，今後很難再有這麼好的機會了啊。」

人格決定了一切，在白帝城答應過劉備會好好照顧劉禪，絕對不取而代之的孔明，終究還是選擇了回去這條路。姜維問起：
「可如果司馬懿這時候趁機追殺我們，該怎麼辦？」
「我們兵分五路退去，每退一些兵，就增添吃飯的爐灶。司馬懿知道我們退兵，一定會追上來，但又會擔心這是我設下的陷阱，所以他會派人來數我們的爐灶。只要他看到我們的爐灶增加了，又搞不清楚士兵退了沒，就會懷疑有詐，不敢追擊。我們就這樣慢慢退兵，自然能一切順利。」

「假如營內兵一千，卻掘二千灶。」孔明這樣吩咐楊儀跟姜維，又補了一句：
「但記得不要一口氣補2倍的爐灶，要把這個2倍拆散在幾個時段，因為我們不能確定司馬懿的斥侯何時會過來，他也可能會來好幾次，倘若有兩次發現沒有變化，那我們的策略就失效了。如果你們拆得夠散的話，大概會是……」

孔明沒有把話說完，他從懷裡掏出一個錦囊交給兩人，便先一步趕回成都見劉禪。姜維苦笑：
「丞相都這把年紀了，愛把關鍵指令藏在錦囊裡的興趣還是沒變。」
「丞相的意思是，原本是一次增加100%，既然分成兩次，就應該各增加50%。正午從1000人變成1500人，到了半夜再增加50%，變成2250人。」
楊儀拿出算籌計算，姜維想了想說：
「等等，如果司馬懿的人連續兩個時辰來看呢？那就不能只是正午加一次，半夜加一次，得每個時辰都增加一點。原本是100%，分成12次，每次就要增加8.33%的爐灶。子時是1000個爐灶，丑時是1083個爐灶，寅時是1173個爐灶，接下來分別是：

卯	辰	巳	午	未	申	丑	戌	亥	子
1271	1377	1492	1616	1751	1897	2055	2226	2412	2613

」

你或許有過這樣的經驗，原本不怎麼擔心的事情，一煩惱起來沒完沒了，開始鑽起牛角尖，此時此刻的姜維跟楊儀，就是這個狀況。

「如果同一個時辰司馬懿的斥侯來看怎麼辦？」
「那得縮短到每半個時辰增加一次，每次增加100/24=4.17%，換句話說就是從1000，半個時辰後變成1000×(1+4.17%)，再來變成1000×(1+4.17%)，然後是1000×(1+4.17%)，……最後需要增加到1000×(1+4.17%)。」

姜維深深吸一口氣，身為孔明的接班人，天水麒麟兒的封號畢竟不是叫假的，他用過人計算能力得出答案：
「2664個爐灶。」

「如果半個時辰就來看兩次呢？」
姜維瞪了楊儀一眼，他們兩個表面上是同事，但楊儀一直忌妒姜維，姜維接下挑戰，他說：
「那就再縮短，每1/4個時辰增加一次，每次增加100/48=2.08%……最後需要增加到2690個爐灶。」

「時段再分割細一點呢？」
從最一開始的2000，分割成兩段時是2250，12段變成2613個爐灶，24段是2664，48段是2690個爐灶，分割得越細，最終增加的總數越大，感覺逐漸要逼近一個數值。姜維下意識拿起算額要計算。這時，他忽然想起錦囊，連忙打開來，只見裡面一張紙寫著：

若把增灶的時段分割成「無量大數」份，每份時間長度只有一「彈指」。則最終會需要2718個爐灶。

果然，丞相早就知道答案了。

姜維把錦囊裡的數據給楊儀看，兩人對丞相更加敬佩。楊儀也不再為難姜維，便依照每個時辰的做法，退兵的同時逐漸增加爐灶。

懿因孔明多謀，不敢輕追，自引百餘騎前來蜀營內踏看，教軍士數灶，仍回本寨；次日，又教軍士趕到那個營內，查點灶數。回報說：「這營內之灶，比前又增一分。」司馬懿謂諸將曰：「吾料孔明多謀，今果添兵增灶，吾若追之，必中其計；不如且退，再作良圖。」於是回軍不追。孔明不折一人，望成都而去。次後川口土人來報司馬懿，說孔明退兵之時，未見添兵，只見增灶。
懿仰天長歎曰：「孔明效虞詡之法，瞞過吾也！其謀略吾不如之！」遂引大軍回洛陽。

一千四百年後，雅各布‧白努利（Jakob I. Bernoulli）用數學式子寫下了這個將倍率無限分割，並且無時無刻都在成長的過程：