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賴以威的數感演義

想騙過司馬懿需要幾口灶?看孔明接班人如何鑽研出倍率無限分割的算式

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(圖/三國演義連環畫,繪者凌濤)


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。



 

《三國演義》後半部可說是諸葛孔明跟司馬懿的戀愛對決史,孔明一再北伐(攻),司馬懿不斷抵抗(受),其中第四次北伐特別順利,先滅大司馬曹真,再大敗司馬懿,正要遙指長安時,劉禪卻聽信讒言,要孔明班師回朝。孔明不得已退兵,為防止司馬懿趁機追擊,他邊退兵,卻邊增添士兵吃飯用的爐灶,混淆司馬懿,令他搞不清楚士兵數目是增是減。這概念說起來容易,但該在何時增加爐灶,才能剛好被司馬懿的斥侯看見,讓他無從判斷?今天讓我們進到三國演義,空想補齊這段增加爐灶的過程。

※ ※ ※

孔明笑曰:「吾受先帝託孤之重,安肯不傾心竭力以討賊乎?汝曹氏不久為漢所滅。汝祖父皆為漢臣,世食漢祿,不思報效,反助篡逆,豈不自恥?」懿羞慚滿面曰:「吾與汝決一雌雄!汝若能勝,吾誓不為大將!汝若敗時,早歸故里,吾並不加害!」孔明曰:「汝欲鬥將?鬥兵?鬥陣法?」懿曰:「先鬥陣法。」孔明曰:「先布陣我看。」

卻說三國筆戰王孔明寫信氣死曹真後,跟司馬懿兩軍對峙時,又講一堆pH值小於3的酸話,氣得司馬懿要跟孔明對決,正中孔明下懷。司馬懿佈了「混元一氣陣」,被孔明說:
「這叫我們家士官長來都會佈,算得了什麼。」

語畢,孔明擺起了八卦陣,叫司馬懿來闖。司馬懿不屑的說:
「不過就是八卦嘛,你知道八卦為什麼是8嗎,因為三條線,每條線有兩種可能,2的3次方就是8啊。」
「噢,你也知道二進位啊?對啊,八卦是3位元的2進位制。但如果你以為我的八卦陣只有3位元,那你就大錯特錯了。」

司馬懿愣了幾秒,他可沒學過什麼二進位制。他假裝聽懂,派了戴凌、張虎、樂琳三將,教他們破八卦陣之法,哪曉得孔明除了表面的八卦,每一卦還藏有八種變化,一共是64種變化。司馬懿的破陣法一點都不管用,沒兩下子戴凌全軍就被抓起來,被孔明剝光衣服,臉塗成RGB(0,0,0)的極致消光黑,嘲笑著送回魏營。司馬懿掛不住面子,親自率軍攻打八卦陣。兩軍才相會,孔明安排的關興跟姜維從後方殺出,大破司馬懿軍隊。

懿引三軍望南死命衝出。魏兵十傷六七。司馬懿退在渭濱南岸下寨,堅守不出。

旗開得勝,孔明率軍開心回到祁山大本營。這時,使者來報苟安也「終於」從永安送來糧草。苟安貪杯,整整遲到10天才送達。孔明見到苟安,臉色一沉:
「糧草是軍中大事,遲到三天就該問斬,你遲到了十天,還有什麼好說的!」

孔明向來執法嚴厲,愛將馬謖犯錯尚且斬了,苟安更不能放過。孔明令左右把苟安推出去斬時,一旁的楊儀建議:
「苟安是李嚴的人,打狗看主人,且戰事錢糧多從他們那兒來。斬了苟安,只怕以後沒人敢幫我們運糧了。」

孔明想想也是,改成打苟安八十大板,趨之別院。沒想到苟安懷恨在心,連夜投降司馬懿。正在煩惱該如何打這場戰的司馬懿,靈機一動,決定來一場離間計。

懿曰:「汝可回成都布散流言,說孔明有怨上之意,早晚欲稱為帝,使汝主詔回孔明,便是汝之功。」
茍安允諾,逕回成都,見了宦官,布散流言,說孔明自倚大功,早晚必將篡國。宦官聞知大驚,即入內奏帝,細言前事。後主驚訝曰:「似此如之奈何?」宦官曰:「可詔還成都,消其兵權,免生叛逆。」

劉禪聽了宦官的話,不顧蔣琬勸告,派出使者連夜到前線,要孔明班師回朝。孔明接過聖旨,仰天長嘆:
「劉禪主公年紀小,一定是旁邊有人散布謠言。我北伐正順利,為什麼要回去?!不回去,是違抗皇上命令。可如果回去了,今後很難再有這麼好的機會了啊。」

人格決定了一切,在白帝城答應過劉備會好好照顧劉禪,絕對不取而代之的孔明,終究還是選擇了回去這條路。姜維問起:
「可如果司馬懿這時候趁機追殺我們,該怎麼辦?」
「我們兵分五路退去,每退一些兵,就增添吃飯的爐灶。司馬懿知道我們退兵,一定會追上來,但又會擔心這是我設下的陷阱,所以他會派人來數我們的爐灶。只要他看到我們的爐灶增加了,又搞不清楚士兵退了沒,就會懷疑有詐,不敢追擊。我們就這樣慢慢退兵,自然能一切順利。」

「假如營內兵一千,卻掘二千灶。」孔明這樣吩咐楊儀跟姜維,又補了一句:
「但記得不要一口氣補2倍的爐灶,要把這個2倍拆散在幾個時段,因為我們不能確定司馬懿的斥侯何時會過來,他也可能會來好幾次,倘若有兩次發現沒有變化,那我們的策略就失效了。如果你們拆得夠散的話,大概會是……」

孔明沒有把話說完,他從懷裡掏出一個錦囊交給兩人,便先一步趕回成都見劉禪。姜維苦笑:
「丞相都這把年紀了,愛把關鍵指令藏在錦囊裡的興趣還是沒變。」
「丞相的意思是,原本是一次增加100%,既然分成兩次,就應該各增加50%。正午從1000人變成1500人,到了半夜再增加50%,變成2250人。」
楊儀拿出算籌計算,姜維想了想說:
「等等,如果司馬懿的人連續兩個時辰來看呢?那就不能只是正午加一次,半夜加一次,得每個時辰都增加一點。原本是100%,分成12次,每次就要增加8.33%的爐灶。子時是1000個爐灶,丑時是1083個爐灶,寅時是1173個爐灶,接下來分別是:

 1271  1377 1492   1616 1751  1897   2055 2226  2412  2613 

 」

你或許有過這樣的經驗,原本不怎麼擔心的事情,一煩惱起來沒完沒了,開始鑽起牛角尖,此時此刻的姜維跟楊儀,就是這個狀況。

「如果同一個時辰司馬懿的斥侯來看怎麼辦?」
「那得縮短到每半個時辰增加一次,每次增加100/24=4.17%,換句話說就是從1000,半個時辰後變成1000×(1+4.17%),再來變成1000×(1+4.17%),然後是1000×(1+4.17%),……最後需要增加到1000×(1+4.17%)。」

姜維深深吸一口氣,身為孔明的接班人,天水麒麟兒的封號畢竟不是叫假的,他用過人計算能力得出答案:
「2664個爐灶。」

「如果半個時辰就來看兩次呢?」
姜維瞪了楊儀一眼,他們兩個表面上是同事,但楊儀一直忌妒姜維,姜維接下挑戰,他說:
「那就再縮短,每1/4個時辰增加一次,每次增加100/48=2.08%……最後需要增加到2690個爐灶。」

「時段再分割細一點呢?」
從最一開始的2000,分割成兩段時是2250,12段變成2613個爐灶,24段是2664,48段是2690個爐灶,分割得越細,最終增加的總數越大,感覺逐漸要逼近一個數值。姜維下意識拿起算額要計算。這時,他忽然想起錦囊,連忙打開來,只見裡面一張紙寫著:

若把增灶的時段分割成「無量大數」份,每份時間長度只有一「彈指」。則最終會需要2718個爐灶。

果然,丞相早就知道答案了。

姜維把錦囊裡的數據給楊儀看,兩人對丞相更加敬佩。楊儀也不再為難姜維,便依照每個時辰的做法,退兵的同時逐漸增加爐灶。

懿因孔明多謀,不敢輕追,自引百餘騎前來蜀營內踏看,教軍士數灶,仍回本寨;次日,又教軍士趕到那個營內,查點灶數。回報說:「這營內之灶,比前又增一分。」司馬懿謂諸將曰:「吾料孔明多謀,今果添兵增灶,吾若追之,必中其計;不如且退,再作良圖。」於是回軍不追。孔明不折一人,望成都而去。次後川口土人來報司馬懿,說孔明退兵之時,未見添兵,只見增灶。
懿仰天長歎曰:「孔明效虞詡之法,瞞過吾也!其謀略吾不如之!」遂引大軍回洛陽。

一千四百年後,雅各布‧白努利(Jakob I. Bernoulli)用數學式子寫下了這個將倍率無限分割,並且無時無刻都在成長的過程:

然後由大數學家歐拉(L. Euler)精準地表示出這個常數的數值2.71828182……,也就是我們所熟悉的歐拉數

註:此處僅為近似值。



作者簡介

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》《超展開數學約會》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。
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