幾個臭皮匠才能勝過一個諸葛亮？數學驗證的答案超乎想像！

（因為對手太弱）一點都不激烈的舌戰群儒現場（圖／戴敦邦四大名著畫集）

在《三國演義》塑造下，幾乎所有人腦海裡都有這道等式：

諸葛亮＝天才

書中諸葛亮運籌帷幄，天下大勢流動都在他掌握之中。好比草船借箭，僅僅用了20餘艘小船和簡單的數學相似形、比例觀念，就從曹操手中賺到10萬餘隻箭。

另一個讓人津津樂道的場景同樣發生在赤壁之戰，草船借箭之前——舌戰群儒。且看三國演義第四十七回：

肅乃引孔明至幕下。早見張昭、顧雍等一班文武，二十餘人，峨冠博帶，整衣端坐。孔明逐一相見，各問姓名。施禮已畢，坐於客位。
（中略）
眾人見孔明對答如流，盡皆失色。

中略的2,236字中，孔明戰了張昭（1060字）、虞翻（217字）、步騭（141字）、薛綜（243字）、陸績（235字）、嚴畯（160字）、程德樞（180字）。就算連描述場景的字數也算進去，再假設每個人講話速度都放慢到一秒2字（正常約一秒3字），和張昭舌戰的時間約9分鐘，其他人都只有2分鐘左右，步騭更短到只有1分鐘，盤坐站起來腳麻還沒好又坐下去了。

基本上除了張昭還能說上一整段，其他人三言兩語內就被孔明KO。

這7人可不是尋常老百姓，是東吳重要的文官集團代表人物，張昭更是孫策臨終前所說「內事不決問張昭，外事不決問周瑜」，和周瑜併肩的東吳重臣，但在孔明手下完全討不到好處。

舌戰群儒讓我們看到孔明一打多的卓越實力，就算7個聰明人也贏不了孔明。然而，小時候分組活動想不出答案時，老師又常勉勵我們：

「多想一想，討論一下啊。俗話說三個臭皮匠，勝過一個諸葛亮。」

先暫時不提被比做臭皮匠一點都開心不起來（還是說了）這件事。把這句俗諺跟舌戰群儒放在一起，你或許也會看到令人困惑之處：一群普通人集思廣益，是否能夠勝過一位天才呢？

§
我們先來看看，據說臭皮匠其實應該是「裨將」：

自什以上，至於裨將，有不若法者，則教者如犯法者之罪。──《尉繚子•兵教上》

裨將是偏將、副將的意思，乃軍中地位相對較低的將領，以開會來說，大概是連座位都沒有，只能站在角落，不小心還會被鏡頭喀掉半個臉，或是被營火燙到的人。

這樣的人只要3個就能勝過諸葛孔明。

這話仔細想想實在經不起檢驗，如果是這樣，三國各路諸侯只需要各找3個裨將組成偶像團體就好了，劉備又何必三顧茅廬求得臥龍出山。

但口說無憑可能有人不服氣，我們用數學來檢驗一下：

首先，所謂「勝過」是指想出更聰明的計策。其次，設定諸葛亮的智商是180（註一）。裨將們經過非常嚴格的人資篩選，全體是智商100的普通人。

然而，「想法」除了智商以外，還取決於靈感。普通人偶爾也會想出超群的主意（像我在追老婆的時候大爆發，各種驚喜策劃源源不絕），天才也有不靈光或計算錯誤的時候。我們用隨機變數來模擬這個思考的過程。不太清楚隨機變數的朋友沒關係，你就想像每個人腦袋裡都有一顆骰子，擲出來的點數越高，表示想出來的主意越棒。

平凡如我輩的裨將，腦海裡的骰子是（1,2,3,4,5,6），但諸葛亮的骰子可能是（5,6,7,8,9,10）。換句話說，唯有諸葛亮失手擲出5點，且裨將運氣超好骰出6點，才會發生裨將想出比諸葛亮還棒的主意。這樣的機率是：

1/6×1/6=1/36

只有約2.8%的機率。

若是三位裨將集思廣益，則是大家先各自出一個主意，再看看誰的主意好，採用那個主意。用骰子的觀點可以想成「擲三次，取最大的那次」（註二）。

而「三個臭裨將勝過一個諸葛亮」的機率就成了擲三次（1,2,3,4,5,6）骰子至少出現一次6點，且擲（5,6,7,8,9,10）骰子出現5點的機率。

前者可以用全部扣掉三次都沒出現6點，答案是：

1-（5/6）3=42%

乘上後者機率1/6，可以得到約7%的機率。

可以看到，三個裨將集思廣益的確對事情有幫助，但勝過孔明的機率提升不到3倍。就算是十個裨將，在這個例子中勝過的機率也只有：

（1-（5/6）10）/6=14%

更殘酷的是，裨將跟孔明腦袋裡的點數面額可能差距更大，說不定他們腦袋裡是一顆正二十面體的骰子，孔明的二十面裡只有一個最小的五點，裨將們大於五點的也只有一個面。這樣三個臭皮匠勝過一個諸葛亮的機率頓時變成：

（1-（19/20）3）/20=0.7%

下降了十倍。

腦海裡的骰子長什麼模樣，跟剛剛一開始說的智商有關。

§
回到一開始的智商假設，裨將智商100，想出來的主意剛好符合標準差15的常態分佈。這也是新版智商的標準定義（全世界人們平均智商100，標準差15）。標準差用來描述「擴散」的程度。以常態分佈來看，有約68%的機率落在一個標準差以內。也就是說，裨將有68%的機率的表現，會讓他看起來像是個智商85~115的人。5%的機率會有兩倍標準差的表現，也就是說會看起特別聰明，智商高達130，或是特別笨，智商低於70。

跳過繁瑣的計算，三位裨將合力思考，平均來說相當於一位智商112.69的人，根本只進步一點點，跟正常發揮的智商180諸葛孔明完全無法比擬。從這個角度來看，也可以知道為什麼張昭等東吳7杰一起也無法舌戰勝過孔明。智商差距太大，就算多幾個人也沒用。當然，這邊要稍微說明一下，我們假設這幾位裨將彼此之間是競爭的關係，不願意合作討論，一起演化出一個更好的主意。如果會互相協助，把幾個想法揉合在一起，那的確會有效提升想出主意的品質。

但如果增加到300位裨將，挑出他們想到的最棒點子，這樣的做法平均來說，大約同等於智商143.17的人來思考，有了實質上的進步，但距離智商180的孔明還是有一段差距。這位智商143的軍師思考出來的主意去跟孔明較量，在前者有極度優秀的表現，且後者失常的情況下，大約有1.2%的機率會贏過孔明。

還是很低。

一代軍師-諸葛亮(上下)

換個思考方式，到底要集結多少人，才能成為一位「平均來說」智商超過180的超級軍師呢？根據軟體Mathematica計算結果是10,270,164，大約是一千萬位裨將才行！《三國演義》第七十回，張郃打了敗仗，曹洪氣得要斬了他時，郭淮說了這麼一句話：

「三軍易得，一將難求。」

這句話放在軍師身上更是貼切，得到一位智商180的諸葛孔明輔佐，相當於有一千萬名裨將替你出主意。更麻煩的是，後者就算好不容易蒐集完了一千萬份資料，你要找誰來幫你判斷出哪個主意最好呢？

「三矢之訓」告訴我們，三隻箭矢綁在一起比較不容易折斷，正確；
「三人成虎」告訴我們，三個人一起說謊比較有人相信，正確；
「三人行必有我師焉」告訴我們，身旁的人總有值得我學習之處，這也正確；
「三個臭皮匠勝過一個諸葛亮」告訴我們，集思廣益也能想出贏過天才的想法。

這是對平凡人的安慰之詞而已。

（本篇文章與每日一冷科宅編共同完成。）

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註一：本篇中諸葛亮的智商設定毫無文獻支持，純粹為趣味推廣數學之假設。
註二：這其實牽涉是與保險業息息相關的「極端值理論（Extreme value theory, EVT）」，使用的是機率裡的「順序統計量」概念。

賴以威

數學作家、譯者，認為數學不只是助眠跟考試工具，而是一種精準描述的語言。理解數學，就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄，著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見，爸爸》《超展開數學約會》，曾獲時報文學獎（書簡組），菠羅科學獎（數學）。

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