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賴以威的數感演義

孔明草船借箭時,曹操看到的是尼斯湖水怪還是水獺尾巴?

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我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。

 



《三國演義》第46回*的草船借箭是最廣為人知的三國故事之一。在此稍微複習一下,此回開頭是魯肅去貝克街221B號拜訪亮‧福爾摩斯。還來不及寒暄,孔明一一道出——

魯肅為什麼來(周瑜叫你來)
魯肅來幹嘛(周瑜叫你來探聽我知道不知道)
魯肅想知道什麼(周瑜知道的我都知道了)

最後講完還補一句:「不要讓周瑜知道我這麼聰明噢。」

魯肅當然會講,但孔明要慶幸他不是華生,不然回去立刻寫部落格,不只周瑜看到,曹操都在下面按讚留言了。

周瑜知道孔明如此神算,決定要除掉他。隔天在眾人面前要孔明立下軍令狀,十天趕工出10萬支箭。

「太久,3天就夠了。」

魯肅大吃一驚,士兵趕工已經來不及了,竟然還主動提前交貨日期迎合客戶,莫非孔明是慣老闆來著。

「我才不是慣老闆,還不是你大嘴巴害了我。算了,你能借我船嗎?」

之後,孔明帶著跟魯肅借來的20隻船,半夜航向曹操水軍營寨。大霧中曹操以為敵人偷襲,亂射一通,送給孔明10萬餘箭。周瑜第三天派人去岸邊搬箭,聽到了草船借箭這招,瑜大驚,慨然嘆曰:「孔明神機妙算,吾不如也。

後人有詩讚曰:「一天濃霧滿長江,遠近難分水渺茫。驟雨飛蝗來戰艦,孔明今日伏周郎。」


草船借箭需要氣象專業知識,才能預測出「三天後起大霧」。這對三國氣象站站長諸葛孔明來說易如反掌。他的氣象預報精準度拿到現在,每次颱風天大家都不用前晚在電視或網路前守候,三天前就可以知道會不會放假。

但其實這不一定是好事。

以台北市來說,2006年到2015年有26天颱風假,其中有17天放假後隔天的風雨未達停班停課標準。如果交給孔明作氣象預報,我們恐怕就會少掉很多颱風假。綜觀《三國演義》,孔明只有在103回失誤了一次。當時他火燒上方谷,眼看司馬懿已經被逼到盡頭:

火勢沖天。司馬懿驚得手足無措,乃下馬抱二子大哭曰
「我父子三人皆死于此處矣!」
正哭之間,忽然狂風大作,黑氣漫空,一聲霹靂響處,驟雨傾盆。滿谷之火,盡皆澆滅

司馬懿就此逃過一劫。該回最後的一幕,孔明的七星燈被魏延踢倒,下一回合便將星殞落了。

離題離得都感傷起來了,請擦乾眼淚讓我們回到在赤壁之戰談笑用計的年輕孔明。


草船借箭除了需要氣象專業知識,需要跟曹操鬥心理戰,料中他不出戰船只放箭,最重要的是——還需要精通數學的相似形概念。

為何跟相似形有關?且聽以下分解:

首先,演義中孔明跟魯肅借船時要求:

望子敬借我二十隻船,每船要軍士三十人,船上街用青布為幔,各數草千餘個,分布兩邊。

假設這些稻草人媲美秋葉原的真人尺寸公仔,成人身寬約50公分,就算草人站得比凱道遊行還密集,1000個草人繞一圈,也需要周長0.5×1000=500公尺的船。

我們快轉時光71年,來到孫吳被滅國的當天,吳國百官無力地望著王濬的豪華戰艦群,將他們設置在江中的鐵索一一破壞,長驅直入。

濬乃作大船連舫,方百二十步,受二千人。以木為城,起樓橹,開四出門,其上皆得馳馬來往。

唐代以前6尺為1步,1尺約23公分,120步約是166公尺,方百二十步的正方形周長也只有664公尺。這還是好幾艘戰艦連在一起的結果。

就算71年前赤壁之戰時孫吳有能力造出一艘不亞於後來王濬的戰船群,必然也是類似航空母艦的主力戰船,不可能讓魯肅偷偷借給孔明,還一口氣借20艘。

演義後面有一句話證實了我們的假設:

魯肅私自撥輕快船20隻。

所以很明顯,孔明拿到的是小船。

開小船卻要讓曹操誤以為是大船,比較可能的做法就是全部縮小——小船和草人都得等比例縮小,利用半夜大霧,讓曹操誤判距離,產生「看起來是尼斯湖水怪但其實是水獺尾巴」的錯覺。

我們假設從千人大船的周長500公尺縮小到周長是100公尺,跟台北淡水河的皇后號郵輪(40公尺×10公尺)差不多。這麼一來,假設士兵身高180公分,肩寬50公分,等比例縮小5倍後的草人就是高36公分,寬10公分的草束,跟古早時賣糖葫蘆的那根草束可能有點像。你可以想像以下的畫面,大霧瀰漫的深夜,20艘插滿糖葫蘆草束的皇后號郵輪,中間一艘坐著正在發抖的魯肅與邊搖扇邊熱酒的孔明,這隻奇特的艦隊往曹軍駛去。

卻說曹寨中,聽得擂鼓吶喊,毛玠、于禁二人慌忙飛報曹操。操傳令約
「重霧迷江,彼軍忽至,必有埋伏。切不可輕動。可撥水軍弓弩手亂箭射之。」
又差人往旱寨內喚張遼、徐晃各帶弓弩手三千,火速到江邊助射……約一萬餘人,盡皆向江中放箭。

那廂萬箭齊發,這廂皇后遊輪左轉右轉,讓船兩側的草束都扎滿箭。20艘船共計賺到10萬餘支箭,平均每艘船有5000隻,1隻草束5隻。我們把草束換算回正常人體型,長度增加5倍,面積增加25倍,大概是中125支箭,可以想像這個被射成蜂窩的模樣有多壯觀。

有些數學好的朋友可能會察覺一點怪怪的:曹軍以為孔明是遠方的大船,所以弓箭應該是往很遠的地方射,這樣其實距離很近的孔明應該沒中箭才對啊?

一點也沒錯。演義後來記載:

卻說曹操平白折損了十五六萬箭,心中氣悶。

我們可以看見,數字沒對上。

曹操軍用掉16萬箭,孔明卻只拿到10萬隻箭。以張遼、徐晃帶領的精銳部隊來說,徘徊在6成的命中率實在是不太高,部分原因是他們瞄準的地方跟真正的船位置不一樣。睡到一半被叫起來射箭,大霧中位置辨別不清,這些讓士兵射歪的因素,卻搞不好歪打正著,中了孔明的草船。從這裡我們也知道,孔明或許有考慮過射箭的拋物線公式跟種種誤差,去估算船和稻草人該縮多小,否則靠太近就借不到箭了。

最後,第46回辛辛苦苦借到的10萬隻箭,一直到第50回華容道放走曹操,赤壁之戰畫下句點,都沒看到這10萬隻箭派上用場。翻來翻去,最可能的是第49回:

黃蓋用刀一招,前船一齊發火。火趁風威,風助火勢,船如箭發,煙焰障天。二十只火船,撞入水寨。曹寨中船隻一時盡著

或許,它們跟著黃蓋一起,被當成柴火送回了曹軍陣營。後人(就是我本人)有詩讚曰:「孔明草船借箭,黃蓋火船還箭。」

/////
第46回開場原文:
用奇謀孔明借箭,獻密計黃蓋受刑
卻說魯肅領了周瑜言語,逕來舟中相探孔明,孔明接入小舟對坐。肅曰:「連日措辦軍務,有失聽教。」孔明曰:「便是亮亦未與都督賀喜。」肅曰:「何喜?」孔明曰:「公瑾使先生來探亮知也不知,便是這件事可賀喜耳。」諕得魯肅失色問曰:「先生何由知之?」孔明曰:「這條計只好弄蔣幹。曹操雖被一時瞞過,必然便省悟,只是不肯認錯耳。今蔡、張兩人既死,江東無患矣,如何不賀喜?吾聞曹操換毛玠,于禁為水軍都督,在這兩個手裏,好歹送了水軍性命。」
魯肅聽了,開口不得,把些言語支吾了半晌,別孔明而回。孔明囑曰:「望子敬在公瑾面前勿言亮先知此事。恐公瑾心懷妒忌,又要尋事害亮。」魯肅應諾而去,回見周瑜,把上項事只得實說了。瑜大驚曰:「此人決不可留!吾決意斬之!」肅勸曰:「若殺孔明,卻被曹操笑也。」瑜曰:「吾自有公道斬之,教他死而無怨。」肅曰:「以何公道斬之?」瑜曰:「子敬休問,來日便見。」



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

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