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賴以威的數感演義

如何「算一道詩」、「寫一首數學」?詩詞裡的數學題詳解篇

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明朝數學家程大位把許多數學知識以詩歌體呈現。例如〈僧分饅頭歌〉。


前幾天總編傳給我〈可以拿詩詞出數學題嗎?詩人裡原來有位「算博士」?〉,文中提到詩與數學的交集,駱賓王被稱為算博士。

我這人很簡單,有數學就買單,更何況是這麼有趣的題材。文裡介紹了許多詩人運用數字的例子。我對詩詞研究很淺,不過看了後還是手癢難耐,便試著寫了一篇呼應,從數學的角度切入這個主題。

首先讓我們聊聊被日本人稱為「算神」的明朝數學家程大位。他的著作《算法統宗》一共17卷,紀載了將近六百道數學題目。程大位家族經商,當時社會的商用數學又發達,因此《算法統宗》裡有許多實用的數學,而且為了便利人們記誦(注意!這邊是為了使用方便,不需求甚解的情況下才會出現「便於記誦」的設計,但數學本質上是一門理解的學科,不是公式本!),程大位便把許多數學知識以詩歌體呈現。例如〈僧分饅頭歌〉

一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,小僧三人分一個,大小和尚得幾丁?

就是不折不扣的一道數學題目,用考卷體翻譯如下:

有100個饅頭跟100位僧侶,大和尚每人吃3個饅頭,小和尚每3人分吃1個饅頭。求大和尚與小和尚各幾人?

等等!我知道你要跳過了!但如果你喜歡古文,請看在古文的份上,讀一下程大位的詳解嘛:

置僧一百名為實,以三個一個併得四個為法除之,得大僧二十五人。
以每人三個,因之得饅頭七十五個。
於總僧內減大僧餘七十五人為小僧,以三人歸之得,饅頭二十五個。

翻譯成白話詳解是:

把1位大和尚跟3位小和尚分成1組,1組4人吃4個饅頭,全部100人吃100個饅頭,所以共有100/4=25組。因此有25個大和尚。
100位僧侶扣掉25位大和尚,剩下就是75位小和尚啦。

有沒有覺得程大位超強的,不需要設x就能解題目,如果大位出生在現代,他鐵定是非常符合108課綱精神,既有數學素養又有跨領域能力的優等生。

明朝數學家程大位若出生現代,鐵定是既有數學素養又有跨領域能力的優等生。
右為他的著作《算法統宗》,紀載了將近六百道數學題目。(圖/wiki


如果你覺得方才這首〈僧分饅頭歌〉不夠詩詞,那我們來看看詞牌《西江月》。先有請兩大詞人登場:

蘇軾吟:

世事一場大夢,人生幾度秋涼。夜來風葉已鳴廊。看取眉頭鬢上。
酒賤常愁客少,月明多被雲妨。中秋誰與共孤光。把盞悽然北望。

辛棄疾填詞:

明月別枝驚鵲,清風半夜鳴蟬。稻花香里說豐年,聽取蛙聲一片。
七八個星天外,兩三點雨山前。舊時茅店社林邊,路轉溪橋忽見。

再請程大位出題:

群羊一百四十,剪毛不憚勤勞,群中有母有羊羔,先剪二毛比較。
大羊剪毛斤二,一十二兩羔毛,百五十斤是根苗,子母各該多少?

寫到這裡不禁暗自慶幸,還好程大位知名度不如前兩位,否則我小時候被要求打電動前要背詩詞兩首。如果家父知道了程大位,那豈不是變成「背兩首詩且算出裡面的數學」。

我是逃過了這劫,在此謹提供給各位望子成龍望女成鳳的父母參考(小孩不要打我)。

如果你覺得程大位還是太數學,那我們來說說金元時期的數學家李冶,他對中國古代的代數技巧「天元術」有重大貢獻。他的數學著作《測海圓鏡》被後人譽為「中華算書,無有勝於此者。」更厲害的是,他不只被人們稱為「宋元四大數學家」,還和當時知名的文人元好問並稱「元李」,落在文學與數學的交集之中。口說無憑,我們來欣賞一首李冶的純文學作品〈瀟湘夜雨〉:

遠寺孤舟墮渺茫,雨聲一夜滿瀟湘。黃陵渡口風波暗,多少征人說故鄉。

俄國女數學家柯瓦列夫斯卡婭也曾說過:「一位真正的數學家,內心必然住著一位詩人。」李冶不只是內心住著一位詩人,他就是一位詩人。事實上,姑且不論詩人願意不願意,許多數學家非常喜歡詩人,認為自己跟詩人有著巧妙且緊密的關聯。

按本質而言,純數學是邏輯理念的一首詩。
—愛因斯坦

數學調度了符號、數字編織而成一道道的方程式,描述隱藏於不同事物中的抽象規律;詩詞則運用文字描繪情感、人性。它們就像莫比烏斯環一樣,是看似不同的兩面一體。

愛的24則運算(二版)

愛的24則運算(二版)

方才我們介紹了「用詩詞形式呈現的數學題」,以及「數學本身就是詩」這兩種數學與詩的融合。近年來則流行第三種,用數學概念、符號來寫成的詩。最廣為人知的當數林婉瑜老師《愛的24則運算》,以下節錄其中一首:

十六分之一 八分之一
四分之一 二分之一 . . . . . .
我正慢慢失去你

幾年來,在許多數學家如北一女中蘇俊鴻老師、成功高中陳彥宏老師的推動下,數學詩逐漸成為國高中數學課的新選項,數感實驗室也舉辦了全國性的數學新詩比賽,獲得廣大的迴響,如台中一中甘庭昀同學的作品《「數」醉》,就讓人大開眼界。

不必為我哭泣
是我 願意墜入這場迷離
踉蹌爬過三次函數 料峭中
寸 步 難 行
矩陣的框架太沉
向括號憤恨地衝撞
換來輕輕轉置 只值漠然的翻身
腦殼清疼
非 干 病 酒
是嚴峻的牢籠堅硬
機率的弦聲太緊
在集合惆悵地彈撥
喚來殷殷期望 卻得相同的事件
頭暈目眩
不 是 悲 秋
是無情的八股窒息
不須將我扶起
朋友啊
淡酒早已代我譜定
人生 匍匐在圓方程式
瞧杜康笑得 咯 咯 作 響
諷我是
飛不出投影的鳥禽

或許除了數學家,每天與數學為伍的中學生內心也住著一位詩人。看來,詩不只能興觀群怨,數學也不只是計算跟考試。它們都有著遠比我們想像得,更無邊無際的空間。

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參考文獻:
蘇意雯,〈詩情畫意談數學〉,《數學傳播》38卷3期, pp. 25-37
蘇俊鴻, 〈詩數列車—數學詩教學設計分享〉,《HPM通訊》20卷第5期第1版



作者簡介

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》《超展開數學約會》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。
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