初出茅廬的孔明如何證明自已的價值？孔明：「用吉提斯指數」。-賴以威

劉備軍在孔明規劃下，火燒博望坡，大勝夏侯惇（圖／三國演義連環畫，上海人民美术出版社出版）

我們喜歡看歷史故事，不同角色在時代的舞台上粉墨登場，激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目，不同公式在抽象的課本中擠成一團，編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看，歷史故事裡處處是數學題目，好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多，數學題目做得少。這次讓我們平衡一下，來一段數感演義。

《三國演義》中，諸葛孔明以臥龍之姿華麗登場，中原局勢隨之扭轉：赤壁之戰祭東風、草船借箭大顯神威，氣死周瑜佔領荊州，又西進巴蜀攻下益州，實現了第一次見面時，對劉備許下的「三分天下」諾言。

諸葛孔明運籌帷幄，指揮張飛、關羽、趙雲等一干猛將，於千里之外決勝的形象深植人心。但其實，孔明初出茅廬時，眾將軍們一點都不服他，認為這書生既年輕又沒功績，憑什麼要聽他的話。在演義的描述中，孔明是靠劉備的劍印才能指揮他們。但仔細想想，張飛關羽何等傲氣，哪會這麼容易就聽話，孔明既能在東吳舌戰群雄，又豈會只靠信物服人。今天，讓我們進到三國演義，空想補齊這段孔明如何運用數學分析，說服大家聽他的指揮。

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玄德自得孔明，以師禮待之。關、張二人不悅曰：「孔明年幼，有甚才學！兄長待之太過！又未見他真實效驗！」玄德曰：「吾得孔明，猶魚之得水也。兩弟勿復多言。」

卻說劉備請出孔明後，對他百般禮遇。關羽跟張飛從三顧茅廬起就對孔明有意見，看見大哥這麼客氣，更是吃味得很，忍不住對劉備抱怨幾句：
「大哥，我們四處闖蕩也十幾年了，您今年40，是天下皆知的劉皇叔。諸葛亮也才不過20歲小屁孩，能有什麼料？連仗都沒打過，不過是會出張嘴，您甭對他太客氣了。」
劉備不說就算了，一回答就是一句千古名言「如魚得水」，關羽跟張飛見大哥把話都說到這份上了，再下去只怕BL的台詞都要出來了，只能默默離開。

沒想到，測驗諸葛亮能耐的試煉馬上來了。

本回施策者為三國時代最耐痛的男人之一——獨眼龍夏侯惇。他奉曹操之命為都督，率領于禁、李典、夏侯蘭、韓浩，起兵十萬，直逼新野。出發前，曹操的智囊荀彧，跟歸降曹操的徐庶都提醒夏侯惇要小心諸葛亮，曹操問起徐庶：
「諸葛亮跟你比如何？」

這陣子彷彿是佳句大賽一樣，徐庶說了另一句千古名言：
「庶如螢火之光，亮乃皓月之明。」

夏侯惇滿心不以為然，誇下海口要活捉劉備、諸葛亮，浩浩蕩蕩地出發了。

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消息傳來，劉備立刻找關羽跟張飛討論該如何迎敵，張飛酸溜溜的說：
「大哥找『水』不就結了嗎？」
「孔明動腦，行軍打仗要靠兩位弟弟，怎麼可以推來推去呢？」

劉備嘆了口氣，把這事情跟孔明說，孔明心裡也清楚，張飛跟關羽是他調兵遣將前，必須先搞定的兩個人。他招集眾將，宣布戰略。夏侯惇的萬人大隊，孔明卻只要關羽、張飛各帶一千兵去埋伏，還要趙雲去打一場只許輸不許贏的先鋒戰。

「主公自引一軍為後援。各須依計而行，勿使有失。」
雲長曰：「我等皆出迎敵，未審軍師卻作何事？」
孔明曰：「我只坐守此城。」
張飛大笑曰：「我們都去廝殺，你卻在家裡坐地，好自在！」
孔明曰：「劍印在此，違令者斬！」

孔明突然發狠下達軍令，反差太大，眾人一時不知道該怎麼辦，全都獃住了。只見孔明先笑出來，放下劍印：
「算了，裝兇也裝不過三爺。各位就是信不過我這一介書生對吧。」
張飛被孔明這一嚇弄得更生氣，嚷著：
「那當然！你以前只做過三件事：耕田、讀書、打嘴砲。一點行軍帶兵的經驗都沒有。咱們軍中論文還有糜竺、孫乾、簡雍。二哥帶兵謀略也很厲害，退一萬步說，俺搞不好都比你強。」
眾人聽到最後一句，都笑了出來。孔明跟著乾笑了幾聲，反問張飛：
「三爺，為什麼有些人喜歡納妾呢？」
張飛愣了幾秒，怎麼話題變成這個，他不耐煩的回答：
「這還不簡單，大老婆久了膩了，嫌了，想要有新鮮感啊。」
「可是假如元配優點比缺點多，還會有人想納妾嗎？」
「當然有～你這窮酸書生就是不懂，新鮮感是很重要的——」
「咳！」
關羽發現苗頭不對，示意張飛別說下去。但孔明已經逮到話頭，繼續追問：
「為什麼新鮮感很重要？」
「因為，因為……」
這時候張飛也知道自己好像說錯話了，但他還搞不清楚錯在哪裡。孔明繼續說：
「因為新鮮感代表充滿無限可能。
好比你去賭場賭博，你跟甲莊家賭了10場贏6場。現在隔壁來了一個新的乙莊家。你去小試身手，1勝1負。你下一把會跟甲還是乙賭呢？」
「這……我看心情！」
「二爺呢？」
這張飛已經說不出話了，真正的關鍵在關羽，孔明心裡明白。

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「好奇心驅使我會去試試看乙，但我認為理性來說，應該還是要在甲這邊賭贏面才高。」
關羽的回答水潑不透，乍看之下沒有任何可以反駁的地方。只見孔明輕搖羽扇，笑說：
「二爺錯矣。」
他裝作沒看見氣得臉更紅的關羽，繼續說：
「二爺去嘗試乙，正是一種理性的選擇。因為你不想只贏一場，你想連贏很多場。比起甲來說，乙充滿不確定性，有機會讓你勝率更高。所以，你才會去嘗試。」
孔明轉頭又問張飛：
「三爺希望打一場勝仗，還是希望打很多場勝仗。」
「廢話，當然百戰百勝啊，誰希望只贏個一場。」
「所以囉，我們選軍師，要考慮『未來性』，得將未來的戰役勝負都算進來。未來會發生的事情，可以用一個比例折現，因為越接近現在的勝利，對我們來說越重要。這個比例嘛，比方說用90%來假設。那麼，眼前這場勝利的價值是1分，下一場勝利的價值是0.9分，再下一場的勝利價值是0.81分，依此類推。」
孔明滔滔不絕的講起來：
「如果今天有一位軍師，勝率是p，把他未來所有預期的勝場價值折現，可以得到p+0.9p+0.92p+0.93p…是個無窮等比級數，答案是p/(1-0.9)，約是1.1p左右。」
武將們已經一臉疑惑，只有孫乾、劉備、關羽勉強跟得上。關羽反駁：
「但怎麼能知道軍師的勝率？或是，你怎麼能說你的勝率高於我們。你根本還沒打過仗。」
「很好，我們的確無法知道這點，只能憑藉『過去的戰績』來算，二爺您擔任軍師時的戰績如何還有印象嗎？」
「小戰不算，大戰8場，贏了5場。」
孔明點點頭：
「超過6成的勝率，不簡單。如果我們只考慮接下來的連續兩場戰役。第一場，二爺當軍師獲勝的機率就是5/8，這時打兩場戰役的價值是

5/8×(1+0.9×(1×2/3+0×1/3))

最裡面的括號是指，因為贏了第一場，戰績變成9戰6勝，獲勝機率進一步提高成6/9=2/3，戰敗機率下降成1/3。
反之，第一場有3/8的機率會輸，此時的戰績變成9戰5勝，獲勝機率下跌到5/9，戰敗機率提升到4/9。這時的兩場戰役價值是

3/8×(0+0.9×(1×5/9+0×4/9))

把這兩個結果相加，就是二爺當軍師，打兩場戰役的價值。」
「在講甚麼啊，俺頭都要痛了，夏侯惇都打來了，俺可以先出發了嗎？」
張飛實在是受不了這些計算，孔明點點頭，攤開桌上早就寫好的一張紙。

圖表出處：《決斷的演算》

決斷的演算：預測、分析與好決定的11堂邏輯課(暢銷紀念精裝版)

「這張表格是我基於上面的原理，在考慮更多細節後的結果。大家可以看見，贏5場輸3場，預期的價值是0.6642。但像我這樣完全沒有勝負經驗的，預期的價值卻是0.7029。我會比二爺來得更有價值，是因為二爺已經打了很多場，輸贏個幾場，對您將來的預期價值影響不大。但我有可能會連續贏很多場，而只要每贏一場，我的預期價值就會以更快的速度飆高。」

孔明停了停，用異常堅定的語氣，一個字一個字說：
「只要你們聽我的話，就能百戰百勝，預期價值絕對是最高的。」
整座帳營一片寂靜，大家都被孔明的話給震懾住。彷彿是把凝重的氣氛揮去，孔明又搖了一下扇子說：
「不說這個了，孫乾、簡雍聽令。你們二人負責慶功宴，安排『功勞簿』，等眾位將軍回來後輪功行賞！」
「等等、這！俺還沒同意——」
「三弟，你沒聽過『運籌帷幄之中，決勝千里之外』嗎？軍師的命令就是我的命令，就照著軍師的話去做！」
雖然劉備自己內心也不是很篤定，畢竟剛剛那一堆計算過程他只聽得懂不到四成。但用人不疑是他最大的本領，他早就深信諸葛亮將會是他成就大業的最重要一片拼圖。

當天，劉備軍在孔明規劃下，火燒博望坡，大勝夏侯惇，後人有詩讚曰：

博望相持用火攻，指揮如意笑談中。直須驚破曹公膽，初出茅廬第一功！

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張飛跟關羽收兵後，看見孔明的車子緩緩過來，兩人立刻下馬拜伏於車前，雖然只是小勝一場，孔明帶兵打仗的回報值只從0.7029來到0.8001，但以寡擊眾、博望坡火燒曹軍的畫面太令人印象深刻，劉備軍上上下下，莫不從此對諸葛亮信服的五體投地，再也沒有質疑他的聲音。而孔明也信守他的承諾，只要是他當軍師的戰役，幾乎攻無不克，戰無不勝。劉備軍也在諸葛亮的獻策輔佐下，順利實現三分天下的野望。

只可惜，後來劉備為了替關羽和張飛報仇，出兵東吳夷陵，孫權任命陸遜為大都督應戰。當時陸遜尚無顯著的戰功，劉備聽到對手是他時，不屑的說：

先主曰：「朕用兵老矣，豈反不如一黃口孺子耶！」

他忘了當年的諸葛孔明，也是從一介書生起家，可惜他也忘了孔明說服關羽跟張飛時所算的指數，沒有經驗的敵人，反而比有一些戰功的老將更需要提防。最終，蜀軍被陸遜火燒七百里，夷陵之役大敗，也讓劉備在懊惱中逝世。

而諸葛亮所算的指數，在一千七百多年後，牛津大學的吉廷斯（Gittens）教授與聯合利華的產學合作中，發明了一模一樣的公式，被後人命名為「吉提斯指數」。