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初出茅廬的孔明如何證明自已的價值?孔明:「用吉提斯指數」。

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劉備軍在孔明規劃下,火燒博望坡,大勝夏侯惇(圖/三國演義連環畫,上海人民美术出版社出版)


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。




《三國演義》中,諸葛孔明以臥龍之姿華麗登場,中原局勢隨之扭轉:赤壁之戰祭東風、草船借箭大顯神威,氣死周瑜佔領荊州,又西進巴蜀攻下益州,實現了第一次見面時,對劉備許下的「三分天下」諾言。

諸葛孔明運籌帷幄,指揮張飛、關羽、趙雲等一干猛將,於千里之外決勝的形象深植人心。但其實,孔明初出茅廬時,眾將軍們一點都不服他,認為這書生既年輕又沒功績,憑什麼要聽他的話。在演義的描述中,孔明是靠劉備的劍印才能指揮他們。但仔細想想,張飛關羽何等傲氣,哪會這麼容易就聽話,孔明既能在東吳舌戰群雄,又豈會只靠信物服人。今天,讓我們進到三國演義,空想補齊這段孔明如何運用數學分析,說服大家聽他的指揮。

※ ※ 

玄德自得孔明,以師禮待之。關、張二人不悅曰:「孔明年幼,有甚才學!兄長待之太過!又未見他真實效驗!」玄德曰:「吾得孔明,猶魚之得水也。兩弟勿復多言。」

卻說劉備請出孔明後,對他百般禮遇。關羽跟張飛從三顧茅廬起就對孔明有意見,看見大哥這麼客氣,更是吃味得很,忍不住對劉備抱怨幾句:
「大哥,我們四處闖蕩也十幾年了,您今年40,是天下皆知的劉皇叔。諸葛亮也才不過20歲小屁孩,能有什麼料?連仗都沒打過,不過是會出張嘴,您甭對他太客氣了。」
劉備不說就算了,一回答就是一句千古名言「如魚得水」,關羽跟張飛見大哥把話都說到這份上了,再下去只怕BL的台詞都要出來了,只能默默離開。

沒想到,測驗諸葛亮能耐的試煉馬上來了。

本回施策者為三國時代最耐痛的男人之一——獨眼龍夏侯惇。他奉曹操之命為都督,率領于禁、李典、夏侯蘭、韓浩,起兵十萬,直逼新野。出發前,曹操的智囊荀彧,跟歸降曹操的徐庶都提醒夏侯惇要小心諸葛亮,曹操問起徐庶:
「諸葛亮跟你比如何?」

這陣子彷彿是佳句大賽一樣,徐庶說了另一句千古名言:
庶如螢火之光,亮乃皓月之明。

夏侯惇滿心不以為然,誇下海口要活捉劉備、諸葛亮,浩浩蕩蕩地出發了。

※ ※ ※

消息傳來,劉備立刻找關羽跟張飛討論該如何迎敵,張飛酸溜溜的說:
「大哥找『水』不就結了嗎?」
「孔明動腦,行軍打仗要靠兩位弟弟,怎麼可以推來推去呢?」

劉備嘆了口氣,把這事情跟孔明說,孔明心裡也清楚,張飛跟關羽是他調兵遣將前,必須先搞定的兩個人。他招集眾將,宣布戰略。夏侯惇的萬人大隊,孔明卻只要關羽、張飛各帶一千兵去埋伏,還要趙雲去打一場只許輸不許贏的先鋒戰。

「主公自引一軍為後援。各須依計而行,勿使有失。」
雲長曰:「我等皆出迎敵,未審軍師卻作何事?」
孔明曰:「我只坐守此城。」
張飛大笑曰:「我們都去廝殺,你卻在家裡坐地,好自在!」
孔明曰:「劍印在此,違令者斬!」

孔明突然發狠下達軍令,反差太大,眾人一時不知道該怎麼辦,全都獃住了。只見孔明先笑出來,放下劍印:
「算了,裝兇也裝不過三爺。各位就是信不過我這一介書生對吧。」
張飛被孔明這一嚇弄得更生氣,嚷著:
「那當然!你以前只做過三件事:耕田、讀書、打嘴砲。一點行軍帶兵的經驗都沒有。咱們軍中論文還有糜竺、孫乾、簡雍。二哥帶兵謀略也很厲害,退一萬步說,俺搞不好都比你強。」
眾人聽到最後一句,都笑了出來。孔明跟著乾笑了幾聲,反問張飛:
「三爺,為什麼有些人喜歡納妾呢?」
張飛愣了幾秒,怎麼話題變成這個,他不耐煩的回答:
「這還不簡單,大老婆久了膩了,嫌了,想要有新鮮感啊。」
「可是假如元配優點比缺點多,還會有人想納妾嗎?」
「當然有~你這窮酸書生就是不懂,新鮮感是很重要的——」
「咳!」
關羽發現苗頭不對,示意張飛別說下去。但孔明已經逮到話頭,繼續追問:
「為什麼新鮮感很重要?」
「因為,因為……」
這時候張飛也知道自己好像說錯話了,但他還搞不清楚錯在哪裡。孔明繼續說:
「因為新鮮感代表充滿無限可能。
好比你去賭場賭博,你跟甲莊家賭了10場贏6場。現在隔壁來了一個新的乙莊家。你去小試身手,1勝1負。你下一把會跟甲還是乙賭呢?」
「這……我看心情!」
「二爺呢?」
這張飛已經說不出話了,真正的關鍵在關羽,孔明心裡明白。

※ ※ ※

「好奇心驅使我會去試試看乙,但我認為理性來說,應該還是要在甲這邊賭贏面才高。」
關羽的回答水潑不透,乍看之下沒有任何可以反駁的地方。只見孔明輕搖羽扇,笑說:
「二爺錯矣。」
他裝作沒看見氣得臉更紅的關羽,繼續說:
「二爺去嘗試乙,正是一種理性的選擇。因為你不想只贏一場,你想連贏很多場。比起甲來說,乙充滿不確定性,有機會讓你勝率更高。所以,你才會去嘗試。」
孔明轉頭又問張飛:
「三爺希望打一場勝仗,還是希望打很多場勝仗。」
「廢話,當然百戰百勝啊,誰希望只贏個一場。」
「所以囉,我們選軍師,要考慮『未來性』,得將未來的戰役勝負都算進來。未來會發生的事情,可以用一個比例折現,因為越接近現在的勝利,對我們來說越重要。這個比例嘛,比方說用90%來假設。那麼,眼前這場勝利的價值是1分,下一場勝利的價值是0.9分,再下一場的勝利價值是0.81分,依此類推。」
孔明滔滔不絕的講起來:
「如果今天有一位軍師,勝率是p,把他未來所有預期的勝場價值折現,可以得到p+0.9p+0.92p+0.93p…是個無窮等比級數,答案是p/(1-0.9),約是1.1p左右。」
武將們已經一臉疑惑,只有孫乾、劉備、關羽勉強跟得上。關羽反駁:
「但怎麼能知道軍師的勝率?或是,你怎麼能說你的勝率高於我們。你根本還沒打過仗。」
「很好,我們的確無法知道這點,只能憑藉『過去的戰績』來算,二爺您擔任軍師時的戰績如何還有印象嗎?」
「小戰不算,大戰8場,贏了5場。」
孔明點點頭:
「超過6成的勝率,不簡單。如果我們只考慮接下來的連續兩場戰役。第一場,二爺當軍師獲勝的機率就是5/8,這時打兩場戰役的價值是

5/8×(1+0.9×(1×2/3+0×1/3))

最裡面的括號是指,因為贏了第一場,戰績變成9戰6勝,獲勝機率進一步提高成6/9=2/3,戰敗機率下降成1/3。
反之,第一場有3/8的機率會輸,此時的戰績變成9戰5勝,獲勝機率下跌到5/9,戰敗機率提升到4/9。這時的兩場戰役價值是

3/8×(0+0.9×(1×5/9+0×4/9))

把這兩個結果相加,就是二爺當軍師,打兩場戰役的價值。」
「在講甚麼啊,俺頭都要痛了,夏侯惇都打來了,俺可以先出發了嗎?」
張飛實在是受不了這些計算,孔明點點頭,攤開桌上早就寫好的一張紙。

圖表出處:《決斷的演算》

 

決斷的演算:預測、分析與好決定的11堂邏輯課(暢銷紀念精裝版)

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「這張表格是我基於上面的原理,在考慮更多細節後的結果。大家可以看見,贏5場輸3場,預期的價值是0.6642。但像我這樣完全沒有勝負經驗的,預期的價值卻是0.7029。我會比二爺來得更有價值,是因為二爺已經打了很多場,輸贏個幾場,對您將來的預期價值影響不大。但我有可能會連續贏很多場,而只要每贏一場,我的預期價值就會以更快的速度飆高。」

孔明停了停,用異常堅定的語氣,一個字一個字說:
「只要你們聽我的話,就能百戰百勝,預期價值絕對是最高的。」
整座帳營一片寂靜,大家都被孔明的話給震懾住。彷彿是把凝重的氣氛揮去,孔明又搖了一下扇子說:
「不說這個了,孫乾、簡雍聽令。你們二人負責慶功宴,安排『功勞簿』,等眾位將軍回來後輪功行賞!」
「等等、這!俺還沒同意——」
「三弟,你沒聽過『運籌帷幄之中,決勝千里之外』嗎?軍師的命令就是我的命令,就照著軍師的話去做!」
雖然劉備自己內心也不是很篤定,畢竟剛剛那一堆計算過程他只聽得懂不到四成。但用人不疑是他最大的本領,他早就深信諸葛亮將會是他成就大業的最重要一片拼圖。

當天,劉備軍在孔明規劃下,火燒博望坡,大勝夏侯惇,後人有詩讚曰:

博望相持用火攻,指揮如意笑談中。直須驚破曹公膽,初出茅廬第一功!

※ ※ ※

張飛跟關羽收兵後,看見孔明的車子緩緩過來,兩人立刻下馬拜伏於車前,雖然只是小勝一場,孔明帶兵打仗的回報值只從0.7029來到0.8001,但以寡擊眾、博望坡火燒曹軍的畫面太令人印象深刻,劉備軍上上下下,莫不從此對諸葛亮信服的五體投地,再也沒有質疑他的聲音。而孔明也信守他的承諾,只要是他當軍師的戰役,幾乎攻無不克,戰無不勝。劉備軍也在諸葛亮的獻策輔佐下,順利實現三分天下的野望。

只可惜,後來劉備為了替關羽和張飛報仇,出兵東吳夷陵,孫權任命陸遜為大都督應戰。當時陸遜尚無顯著的戰功,劉備聽到對手是他時,不屑的說:

先主曰:「朕用兵老矣,豈反不如一黃口孺子耶!」

他忘了當年的諸葛孔明,也是從一介書生起家,可惜他也忘了孔明說服關羽跟張飛時所算的指數,沒有經驗的敵人,反而比有一些戰功的老將更需要提防。最終,蜀軍被陸遜火燒七百里,夷陵之役大敗,也讓劉備在懊惱中逝世。

而諸葛亮所算的指數,在一千七百多年後,牛津大學的吉廷斯(Gittens)教授與聯合利華的產學合作中,發明了一模一樣的公式,被後人命名為「吉提斯指數」。



作者簡介

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》《超展開數學約會》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。
2017年OKAPI全新推出:賴以威專欄【數感演義】(歡迎至網頁右上角點選訂閱OKAPI電子報)


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