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賴以威的數感演義

被曹操驅之別院的張松,如何用一張地圖博得劉備芳心?

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張松(左)獻上《西蜀地形圖》,欲助劉備取得西蜀


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。

 



卻說曹操先見張松人物猥瑣,五分不喜;又聞言語衝撞,遂拂袖而去。左右責松,松笑曰:
「吾川中無諂佞之人也。」

忽然階下一人大喝曰:
「川中不會諂佞,吾中原豈有諂者乎?」

張松一看,原來是大才子楊修出言為難,可張松也不是吃素的。西川跟中原有沒有阿諛奉承之輩還不知道,但肯定有戰神,此刻還相遇了。

楊修邀張松到書院聊聊:「西蜀地理環境如何?」
「一個字——大。最遠的兩個村落往返一趟要花280天,東西南北幅員3萬里(回環二百八程,縱橫三萬餘里)。」

楊修低頭不語,幾秒後啜了口茶點點頭,另一頭的張松露出得意笑容。這之間發生了什麼事?

正所謂高手過招,外行人看熱鬧,內行人看門道。

原來剛剛楊修在心算,東西南北幅員3萬里,意思是西蜀是一個正方形。正方形最遠的兩點是落在對角線兩端,距離是邊長乘上根號2,約是42,400里。馬的正常速度是每小時25公里,換算到漢代1里是415.8米,速度約是每小時60里。

42,400里的路程,來回一趟280天,時速60里,一天約跑5小時,扣掉吃飯睡覺跟休息,這是個相當合理的數字。

可見張松雖然灌水西蜀面積,但在細節上用數學驗算沒有問題,楊修要挑也挑不出毛病。

第二回合開始。

楊修喚左右從箱子裡拿出一卷書,上面寫著《孟德新書》,張松接過來看,楊修盤起腳來,悠哉地沏茶。

「你給我看這本書幹嘛?」
「這是我們曹丞相仿照《孫子兵法》寫成的兵書,你說我們丞相平庸,你倒說說看這本書是不是夠格成為經典,流傳後世。」

楊修嘴上沒停,可心底驚訝不已,他原本以為張松會看好一陣子,結果連水都沒燒開張松就讀完了。楊修沒算過《孟德新書》字數,以同樣都是13卷的《孫子兵法》6074個字來估算,一般人閱讀速度一分鐘300字,就算看過就能理解也得花上20分鐘。張松一目十行,只花2分鐘就看完,一分鐘能看3000字,一秒看50個字,真是太驚人了。張松看穿楊修的想法,他放下書仰天大笑。

「楊主簿別吃驚,我沒學過速讀,是我光看前面1/10,就知道後面在寫什麼了。這書是戰國時代無名氏所作,就算我們西蜀3尺小兒也能背誦,丞相抄襲就算了,還命名為『新書』,大概也只能騙騙主簿吧。」

楊修在內心罵,3尺只有70公分,三個月大的嬰兒連爸爸媽媽都叫不出來,最好是能背書啦,分明是胡說。張松回答:「不信嗎?我背給你聽聽看。」

語畢,張松將《孟德新書》用1分鐘240個字的速度從第一個字背起。25分鐘後,比最長的TED talk還要再多7分鐘全場的曹操家臣目瞪口呆,好些人信了張松的話,懷疑這書不是曹操所著。只有楊修知道張松太了不起了,不僅一目十行,還過目不忘。後人有詩讚曰:

古怪形容異,清高體疏。語傾三峽水,目視十行書。膽量魁西蜀,文章貫太虛。百家并諸子,一覽更無餘。

§
「來者莫非張別駕乎?」
松曰:「然也。」
那將慌忙下馬,聲喏曰:「趙雲等候多時。」

擅於邊使槍邊算數學的常山趙子龍來迎接我,這面子倒給得不小。

張松想起前些日子跟楊修舌戰後又拜會曹操,一時逞口舌之快,差點人頭落地,最後反而是楊修求情,才「只被」曹操亂棒打出,連夜趕走。對照眼下劉備禮賢下士的態度,有如天壤之別啊。

當晚,溫酒斬華雄的關羽來到旅社陪張松喝酒談天。張飛沒跟來猜測是因為怕他太會喝,讓張松宿醉就不好了。隔天,劉備帶著臥龍鳳雛親自來旅社迎接張松。

「早就久仰您的大名,如果不嫌棄的話,請在我們這兒待上幾天,讓我跟您學習吧。」

千穿萬穿,馬屁不穿。張松開心得不得了,收起在曹操那裡的惡劣態度,試探劉備對西蜀的興趣,還回敬了劉備一頂高帽子:「您是漢世宗親,仁義知名遍滿天下。別說此刻掌管荊州,就算稱帝也不過分啊。」

劉備笑著拱手謙辭。酒席一連辦了三天,劉備都沒主動提到西蜀。離別時,劉備淚流滿面:「這次分別,不知道下次甚麼時候才有機會再聽您指導啊。」

張松感動莫名,他此番出西蜀,南北奔波,終於找到值得依附的明君。他展開三寸不爛之舌,遊說劉備取西蜀,再北上奪漢中,問鼎中原。劉備當年從徐州一路到荊州,如果這一切順利,剛好是順時鐘繞中國一圈。

「如果您有意取西蜀,我願意當內應!」

張松展現出十足的誠意。

劉備沒正面回答,吐出一個假設性的問題:「西蜀路途崎嶇,千山萬水,如果真的要攻打,有什麼好方法嗎?」

這就是劉備過人之處,隨口一個問題就逼得張松不僅得展現誠意,還要拿出實質建議。在楊修面前不可一世的張松,此時像求婚後女方猶豫不決的男生,不斷加碼,他從袖子裡拿出壓箱寶。

玄德略展視之,上面盡寫著地理行程。遠近闊狹,山川險要,府庫錢糧,一一俱載明白。

「這是我畫的《西蜀地形圖》。有了這個,您就對蜀中道路瞭若指掌。我兩位好朋友法正、孟達必定也能幫上忙。」

孫子兵法云:「夫地形者,兵之助也。」知道各地的地形與地理位置,便能事前擬定戰略,對戰爭有大大的幫助。劉備不再推辭,拱手向張松道謝:「青山不老,綠水長存。事成後一定好好答謝您。」

兩人就此告別,孔明吩咐關羽護送張松。路上,關羽語帶讚嘆地說:「張先生畫地圖一定花了很多時間吧。要畫出那麼精細的地圖,有什麼訣竅嗎?」

「數學。」張松露出得意的笑容。

§

諸位看倌,對現代人來說點開Google map就可以看到的地圖,對古人而言是極其珍貴的資訊,畫示意圖給路人告訴他公車站在哪裡(還有人會這麼做嗎)很容易,但繪製精準的地圖需要高度的專業能力。地圖技術一直到了三國統一後的西晉,才由裴秀提出了六個重要的概念:

分率,准望,道里,高下,方邪,迂直。

分率指的是正確的比例尺,想想,如果一個地方你把它縮成100倍小,另一個地方是1000倍小,那就兜不起來。所以比例尺很重要;准望是方位要正確;道里是道路的里程。高下、方邪、迂直則是指當地表有高低起伏,路線曲折不一等題時,要重新校正。不然地圖就會存在「圖上看起來」與「實際走起來」的誤差。

可以看見,這「製圖六體」都跟數學有密切關係。

除了製圖六體,還有更重要的「投影」。

我們可以拿一顆橘子,嗯,先別急著捏爆它或是剝來吃。請在橘子皮上隨便畫一張地圖,再試著剝皮,把地圖從球面變成平面。你會發現,不可能直接剝成一張長方形的地圖,就算橘子皮都沒斷掉,也會變成很奇怪的破碎形狀。要如何將圓弧的地表變成一張平面地圖,例如現在常用的麥卡托投影法,得等到千年後人們才發明出來。

不過,如果把維基百科的投影介紹給張松看,他可能會過五分鐘後把手機還你,得意洋洋地說:「這早就有了,我家隔壁三個月大的小狗子都會背。不信嗎?我背給你聽……」



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

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