我們喜歡看歷史故事，不同角色在時代的舞台上粉墨登場，激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目，不同公式在抽象的課本中擠成一團，編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看，歷史故事裡處處是數學題目，好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多，數學題目做得少。這次讓我們平衡一下，來一段數感演義。
《三國演義》第46回*的草船借箭是最廣為人知的三國故事之一。在此稍微複習一下，此回開頭是魯肅去貝克街221B號拜訪亮‧福爾摩斯。還來不及寒暄，孔明一一道出——
魯肅為什麼來（周瑜叫你來）
魯肅來幹嘛（周瑜叫你來探聽我知道不知道）
魯肅想知道什麼（周瑜知道的我都知道了）
最後講完還補一句：「不要讓周瑜知道我這麼聰明噢。」
魯肅當然會講，但孔明要慶幸他不是華生，不然回去立刻寫部落格，不只周瑜看到，曹操都在下面按讚留言了。
周瑜知道孔明如此神算，決定要除掉他。隔天在眾人面前要孔明立下軍令狀，十天趕工出10萬支箭。
「太久，3天就夠了。」
魯肅大吃一驚，士兵趕工已經來不及了，竟然還主動提前交貨日期迎合客戶，莫非孔明是慣老闆來著。
「我才不是慣老闆，還不是你大嘴巴害了我。算了，你能借我船嗎？」
之後，孔明帶著跟魯肅借來的20隻船，半夜航向曹操水軍營寨。大霧中曹操以為敵人偷襲，亂射一通，送給孔明10萬餘箭。周瑜第三天派人去岸邊搬箭，聽到了草船借箭這招，瑜大驚，慨然嘆曰：「孔明神機妙算，吾不如也。」
後人有詩讚曰：「一天濃霧滿長江，遠近難分水渺茫。驟雨飛蝗來戰艦，孔明今日伏周郎。」
草船借箭需要氣象專業知識，才能預測出「三天後起大霧」。這對三國氣象站站長諸葛孔明來說易如反掌。他的氣象預報精準度拿到現在，每次颱風天大家都不用前晚在電視或網路前守候，三天前就可以知道會不會放假。 但其實這不一定是好事。 以台北市來說，2006年到2015年有26天颱風假，其中有17天放假後隔天的風雨未達停班停課標準。如果交給孔明作氣象預報，我們恐怕就會少掉很多颱風假。綜觀《三國演義》，孔明只有在103回失誤了一次。當時他火燒上方谷，眼看司馬懿已經被逼到盡頭： 火勢沖天。司馬懿驚得手足無措，乃下馬抱二子大哭曰 司馬懿就此逃過一劫。該回最後的一幕，孔明的七星燈被魏延踢倒，下一回合便將星殞落了。 離題離得都感傷起來了，請擦乾眼淚讓我們回到在赤壁之戰談笑用計的年輕孔明。 |
草船借箭除了需要氣象專業知識，需要跟曹操鬥心理戰，料中他不出戰船只放箭，最重要的是——還需要精通數學的相似形概念。
為何跟相似形有關？且聽以下分解：
首先，演義中孔明跟魯肅借船時要求：
望子敬借我二十隻船，每船要軍士三十人，船上街用青布為幔，各數草千餘個，分布兩邊。
假設這些稻草人媲美秋葉原的真人尺寸公仔，成人身寬約50公分，就算草人站得比凱道遊行還密集，1000個草人繞一圈，也需要周長0.5×1000=500公尺的船。
我們快轉時光71年，來到孫吳被滅國的當天，吳國百官無力地望著王濬的豪華戰艦群，將他們設置在江中的鐵索一一破壞，長驅直入。
濬乃作大船連舫，方百二十步，受二千人。以木為城，起樓橹，開四出門，其上皆得馳馬來往。
唐代以前6尺為1步，1尺約23公分，120步約是166公尺，方百二十步的正方形周長也只有664公尺。這還是好幾艘戰艦連在一起的結果。
就算71年前赤壁之戰時孫吳有能力造出一艘不亞於後來王濬的戰船群，必然也是類似航空母艦的主力戰船，不可能讓魯肅偷偷借給孔明，還一口氣借20艘。
演義後面有一句話證實了我們的假設：
魯肅私自撥輕快船20隻。
所以很明顯，孔明拿到的是小船。
開小船卻要讓曹操誤以為是大船，比較可能的做法就是全部縮小——小船和草人都得等比例縮小，利用半夜大霧，讓曹操誤判距離，產生「看起來是尼斯湖水怪但其實是水獺尾巴」的錯覺。
我們假設從千人大船的周長500公尺縮小到周長是100公尺，跟台北淡水河的皇后號郵輪（40公尺×10公尺）差不多。這麼一來，假設士兵身高180公分，肩寬50公分，等比例縮小5倍後的草人就是高36公分，寬10公分的草束，跟古早時賣糖葫蘆的那根草束可能有點像。你可以想像以下的畫面，大霧瀰漫的深夜，20艘插滿糖葫蘆草束的皇后號郵輪，中間一艘坐著正在發抖的魯肅與邊搖扇邊熱酒的孔明，這隻奇特的艦隊往曹軍駛去。
卻說曹寨中，聽得擂鼓吶喊，毛玠、于禁二人慌忙飛報曹操。操傳令約
「重霧迷江，彼軍忽至，必有埋伏。切不可輕動。可撥水軍弓弩手亂箭射之。」
又差人往旱寨內喚張遼、徐晃各帶弓弩手三千，火速到江邊助射……約一萬餘人，盡皆向江中放箭。
那廂萬箭齊發，這廂皇后遊輪左轉右轉，讓船兩側的草束都扎滿箭。20艘船共計賺到10萬餘支箭，平均每艘船有5000隻，1隻草束5隻。我們把草束換算回正常人體型，長度增加5倍，面積增加25倍，大概是中125支箭，可以想像這個被射成蜂窩的模樣有多壯觀。
有些數學好的朋友可能會察覺一點怪怪的：曹軍以為孔明是遠方的大船，所以弓箭應該是往很遠的地方射，這樣其實距離很近的孔明應該沒中箭才對啊？
一點也沒錯。演義後來記載：
卻說曹操平白折損了十五六萬箭，心中氣悶。
我們可以看見，數字沒對上。
曹操軍用掉16萬箭，孔明卻只拿到10萬隻箭。以張遼、徐晃帶領的精銳部隊來說，徘徊在6成的命中率實在是不太高，部分原因是他們瞄準的地方跟真正的船位置不一樣。睡到一半被叫起來射箭，大霧中位置辨別不清，這些讓士兵射歪的因素，卻搞不好歪打正著，中了孔明的草船。從這裡我們也知道，孔明或許有考慮過射箭的拋物線公式跟種種誤差，去估算船和稻草人該縮多小，否則靠太近就借不到箭了。
黃蓋用刀一招，前船一齊發火。火趁風威，風助火勢，船如箭發，煙焰障天。二十只火船，撞入水寨。曹寨中船隻一時盡著
或許，它們跟著黃蓋一起，被當成柴火送回了曹軍陣營。後人（就是我本人）有詩讚曰：「孔明草船借箭，黃蓋火船還箭。」/////
第46回開場原文：
用奇謀孔明借箭，獻密計黃蓋受刑
卻說魯肅領了周瑜言語，逕來舟中相探孔明，孔明接入小舟對坐。肅曰：「連日措辦軍務，有失聽教。」孔明曰：「便是亮亦未與都督賀喜。」肅曰：「何喜？」孔明曰：「公瑾使先生來探亮知也不知，便是這件事可賀喜耳。」諕得魯肅失色問曰：「先生何由知之？」孔明曰：「這條計只好弄蔣幹。曹操雖被一時瞞過，必然便省悟，只是不肯認錯耳。今蔡、張兩人既死，江東無患矣，如何不賀喜？吾聞曹操換毛玠，于禁為水軍都督，在這兩個手裏，好歹送了水軍性命。」
魯肅聽了，開口不得，把些言語支吾了半晌，別孔明而回。孔明囑曰：「望子敬在公瑾面前勿言亮先知此事。恐公瑾心懷妒忌，又要尋事害亮。」魯肅應諾而去，回見周瑜，把上項事只得實說了。瑜大驚曰：「此人決不可留！吾決意斬之！」肅勸曰：「若殺孔明，卻被曹操笑也。」瑜曰：「吾自有公道斬之，教他死而無怨。」肅曰：「以何公道斬之？」瑜曰：「子敬休問，來日便見。」
賴以威
數學作家、譯者，認為數學不只是助眠跟考試工具，而是一種精準描述的語言。理解數學，就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄，著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見，爸爸》，曾獲時報文學獎（書簡組），菠羅科學獎（數學）。
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