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賴以威的數感演義

關雲長單挑回來後酒還是溫的不科學?數學驗證給你看

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我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。

 



《三國演義》裡最精采的莫過於「單挑」了。兩軍對峙,戰鼓聲響,一員驍將身披銀鎧,拍馬挺槍,從陣中閃出,高聲大喊:「吾乃 x y,誰敢出陣與吾對決。」

在此,x 帶入地名或官名,y 帶入將領本名。舉例來說,當(x,y)= (燕人,張翼德),我們就知道是「百萬軍中取上將之頭,如探囊取物耳」的張飛登場。今天要聊的是(x,y)= (漢壽亭侯,關雲長)。

就是全三國最擅長一刀KO對手的漢壽亭侯關雲長。

§
翻開《三國演義》第25回到第27回,短短三回內,關羽秒殺8名武將。前兩回是:

關公赤兔馬快,早已跑到身前,顏良措手不及,被雲長手起一刀刺於馬下。
戰不三合,文醜心怯,撥馬繞河而走。關公馬快,趕上文醜,腦後一刀,將文醜斬下馬來。

威震河北的顏良文醜遇上騎赤兔馬的關羽,就像以為車子還遠,偷闖紅燈的行人,誰知道車子超速,一瞬間就撞上來了

第27回是更經典的過五關斬六將:

孔秀:兩馬相交,只一合,鋼刀起處,孔秀屍橫馬下
孟坦:孟坦只指望引誘關公,不想關公馬快,早已趕上,只一刀,砍為兩段
韓福:韓福急走不迭,關公手起刀落,帶頭連肩斬於馬下
卞喜:卞喜用飛錘擲打關羽,關羽用刀隔開錘,趕將入去,一刀劈卞喜為兩半
王植:拍馬挺槍,逕奔關公,被關公攔腰一刀,砍為兩段
秦琪:縱馬提刀,直取關公,二馬相交,只一合,關公刀起,秦琪頭落

顏良文醜好歹留個全屍,但六將中有四位被劈成兩半,一位人頭落地。最重要的是——都只用了一刀。對許多人來說,就算切冷凍豬肉,也沒辦法切得這麼乾淨俐落吧。

§
從上面的介紹,我們可以看見關羽簡直是三國時代的拳王泰森,有著顯赫的秒殺戰績。在關羽眾多的單挑經歷中,最為人津津樂道的當屬「溫酒斬華雄」。

當時,攻打董卓的盟軍遇到華雄的強力防守。某日,華雄拿著孫堅的紅頭巾到盟軍寨前叫陣,盟軍將領俞涉、潘鳳出去都敗下陣來。袁紹碎碎唸:「如果顏良文醜在就好了……」

「小將願往斬華雄頭,獻於帳下!」

出聲的是當時還僅是馬弓手的關羽。那時袁紹不知道後來顏良文醜都死於眼前此人刀下,他和袁術只覺得這人太小咖,派出去單挑不要說華雄了,自家人都不好意思。只有曹操慧眼識英雄:

操曰:「此人儀表不俗,華雄安知他是弓手?」
關公曰:「如不勝,請斬某頭。」
操教釃熱酒一杯,與關公飲了上馬。
關公曰:「酒且斟下,某去便來。」

沒過多久,關羽回來,把華雄的頭扔在地上。後人有詩讚曰:「威鎮乾坤第一功,轅門畫鼓響冬冬。 雲長停盞施英勇,酒尚溫時斬華雄。

單挑回來酒還是溫的!這真的能做到嗎?

我們用數學來檢驗看看。

§
首先,酒溫隨著時間變化,用數學的語言來說就是:有一個函式,輸入是時間t,輸出是該時間的酒溫T(t)。「牛頓冷卻定律」描述了這個函式:

R是曹操袁紹等大夥兒都在的主寨室溫,T0是剛熱好的酒溫,e是趨近於2.7的歐拉數,α是跟物體本身有關的常數,數值越大表示降溫越快。我們來稍微感受一下。一開始t=0,等號右邊是T0,酒剛熱好的溫度。很久很久以後t=∞,e-αt~0,等號右邊的酒溫變得跟室溫一樣。

換句話說,只要找出三個關鍵參數:R、T0、α,就能描繪出酒溫隨時間的變化。

先來破解T0。三國時代主要是黃酒,我們在書中也有找到證據。曹操後來跟劉備一起煮酒論英雄,下酒小菜是青梅,根據網路資料,黃酒有一種喝法就是加話梅。黃酒加熱飲用的適合溫度是40~45度之間,故假設初始酒溫T0=45度。

再來是寨裡的室溫。十八路諸侯討伐董卓發生在正月天寒地凍之時。參考武陵農場官方資訊「露營區如晚上氣溫是0度,空帳內氣溫約8度」,再考慮到寨內有火爐,又坐很多人,假設寨內室溫是兩倍R=16度。

最後是最困難的常數α,我們查不到任何網路資料,只好自.己.做.實.驗。以下是實驗描述:

  • 酒:酒精濃度約3.5%的葡萄酒,每杯約300ml。
  • 酒杯:三國時代有兩種羽觴、樽,表面積約80~100平方公分。材質可能是青銅或木頭漆器。我們用不鏽鋼與塑膠盒來模擬,並將材質的熱傳導係數與厚度在換算時一併考慮。
  • 當天室溫21度,使用塑膠材質酒杯時,20分鐘內酒溫從8度上升到12度。α=0.018。不鏽鋼酒杯的溫度變化比較快,α是0.026。

公式到此總算完成。

最後要知道的是,關羽衝出去跟華雄單挑,花了多少時間。演義第五回紀載:

玄德、關、張引數騎跟公孫瓚來。曹操接著。眾諸侯亦陸續皆至,各自安營下寨,連接二百餘里。

假設華雄來寨前叫陣,主寨擺在營區正中央,關羽來回一趟就得跑200里。根據《漢書‧食貨志》紀載,漢代一里是1800尺,換算起來是415.8米。馬奔跑速度每小時40公里,則關羽不算單挑時間,光騎馬就得騎2小時,就算用了溫度變化較慢的(木)漆器杯,酒溫也只剩下:

19度恐怕稱不上「溫酒」。

但如果是主寨在最前線,從寨內就可以聽到華雄在外面嚷嚷那樣近的距離呢?

這時關羽單挑所花的時間就很重要了。演義第28回有一場單挑可以讓我們參考:

「你果有真心,我這裡三通鼓罷。便要你斬來將。」
張飛親自擂鼓,只見一通鼓未盡,關公刀起處,蔡陽頭已落地。

張飛連一通鼓都沒打完,單挑就結束了。

進擊的鼓手 DVD(Whiplash DVD)

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一通鼓多久呢?根據《衛公兵法》記載:「夫軍城及野營行軍在外,日出日沒時,撾鼓一千搥:三百三十三椎為一通。」

假如鼓手張飛的節奏速度是60BPM(beats per minute),也就是一分鐘60下,換算起來關羽不到5分半就斬了蔡陽(倘若張飛是鼓手界的奇才,以媲美《進擊的鼓手》中的400BPM狂飆速度打戰鼓,那關羽只花了49.5秒就斬了蔡陽!)。根據這些數據,我們大概假設關羽從主寨出發,斬了華雄,沿途受到士兵歡迎,簽個名,自拍個幾張照片,總共花上15分鐘。這時的酒溫是:

還有38.1度,依然比人體溫度高一些。如果是青銅器酒器則是35.6度。考慮到作戰為了攜帶方便,的確漆器是比較適合的選擇。

總結我們的分析:假如盟軍主寨設在戰場最前線,曹操用漆器酒杯倒了45度的黃酒給關羽,則的確有可能,關羽提著華雄頭回來後,依然能喝到比體溫還高的溫酒。

(此篇文章是與數感實驗室小編陳德元協力完成,感謝室友瑋琪一起做實驗。)



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

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