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賴以威的數感演義

看龐統如何打造史上最大移動迷宮──「連環計」背後的數學原理

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我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。




大江東去,浪淘盡,千古風流人物。故壘西邊,人道是,三國周郎赤壁。

蘇軾的《念奴嬌》道出赤壁之戰在三國歷史中的分量。曹操一統半壁江山後,揮軍南下,孫劉聯軍在不被看好的情況下,以寡擊眾大敗曹操。《三國演義》從第43回〈諸葛亮舌戰群儒,魯子敬力排眾議〉到第50回〈諸葛亮智算華容,關雲長義釋曹操〉,共用8回講赤壁,佔演義120回中6.7%的比例,赤壁之戰的重要性可見一斑。

各路名將在赤壁之戰都扮演了不可取代的角色:美周郎周瑜是總召,諸葛亮負責氣象預報,魯肅負責當老好人,關羽負責放曹操走。

龐統,負責獻上連環計。

黃蓋負責苦肉計是因為他很耐打,蔣幹負責被騙是因為他很好騙。不知道各位有沒有想過,龐統為什麼負責連環計,而且為什麼成功呢?

§
龐統,字士元,和諸葛亮並稱臥龍鳳雛,是劉備後來攻打西川劉璋的重要謀士。他在第57回加入劉備軍,一開始劉備嫌他醜又沒禮貌,把他放到耒陽縣當縣令。上任一百多天,龐統天天逛臉書喝酒摸魚,向來喜歡鞭打公務人員的張飛聽聞此事,立刻衝來準備教訓龐統,結果:

統手中批判,口中發落,耳內聽詞,曲直分明,並無分毫差錯。民皆叩首拜伏。 不到半日,將百余日之事,盡斷畢了,投筆於地而對張飛曰:「所廢之事何在 !曹操、孫權,吾視之若掌上觀文,量此小縣,何足介意!」

龐統只花不到半天,就搞定累積百日的工作!

這大概都是怎樣的工作呢?

九章算術(全譯修訂版)

九章算術(全譯修訂版)

我們可以從中國經典數學課本《九章算術》裡略窺一二。《九章算術》記載了246個數學問題,不像現在的課本總是出一些比較不切實際的應用題,例如逼小明跟他哥不同時間出門,再算多久後會相遇。《九章算術》中有田畝的劃分與計算(方田),糧食交易的換算(粟米),徵稅的計算(均輸)等等,在古代都是相當實用的情境題。根據這些題目,我們大概可以想像龐統面對的是:

「他用稻米跟我換小麥,但按照比例,他少給了我好幾斤米!」
「祖上傳下來的田地,父親說平分,但我哥那份比較多!」

這些雖然雞毛蒜皮,但認真算起來也得花上些時間的任務。

龐統在半天不到就做完,簡直就像在公堂上擺了台電腦,由此我們可以得知鳳雛龐統的一項驚人能力——人肉電腦。

此外,龐統擅於評論天下人,清楚曹操喜歡浮誇的特性:打完袁紹後蓋了個銅雀台,三年後再蓋金虎台,隔年再蓋冰井台。龐統抓準這點,遊說曹操將水軍綁在一起——不是像棋盤格那樣規規矩矩,每艘船都跟前後左右的船用鐵環綁在一起,而是靠著龐統強大的計算能力,將整個水軍陣營設計成史上最大移動迷宮!

§

統曰:「某有一策,使大小水軍,並無疾病,安穩成功。」
操大喜,請問妙策。
統曰:「大江之中,潮生潮落,風浪不息。北兵不慣乘舟,受此顛播,便生疾病。若以大船小船各皆配搭,或三十為一排,或五十為一排,首尾用鐵環連鎖,上舖闊板,休言人可渡,馬亦可走矣。乘此而行,任他風浪潮水上下,復何懼哉?」

這是演義第四十七回中,龐統獻上連環計的對話。

其實裡面少了很多細節,我們帶各位回到當時的場景:

聽完龐統的建議,曹操沉吟不語,他在思考兩件事情:第一,每艘船都用鐵環和木板與前後左右連結起來,需要太多資源。第二,龐統畢竟是江南子弟,難保他別有用心。龐統清楚曹操在猶豫,他笑說:

「丞相不需要擔心耗費資源甚鉅,我有一個方法。」

龐統攤開一張紙,上面畫了個6×6的方格。

「丞相的想法是,49艘船排成這樣6×6的方格,交點上都有一艘船,每條線段都是一條鐵環。


但我龐統教丞相一個方法,可以大幅縮減需要鐵環的數目。」

曹操與一旁眾將聽到有這麼一個好方法,眼睛都亮起來。龐統說:

「鐵環的重點不是『要跟鄰近的船全鍊起來』,而是『只要所有的船都被鍊在一起』。換句話說,這張方格般的鏈結,有很多地方都是多餘、不需要的。比方說被我畫過的地方,通通都不需要鐵環。」

龐統拿起筆,隨意地在某個邊緣的方格上點了一點。然後,任由筆尖在方格中漫遊。畫了一條折線,直到無法再畫下去。


「死路了,我用一隻眼睛也看得出來。」夏侯惇開玩笑地說。龐統點點頭:

「夏侯將軍說的是,這條折線到此是死路。回頭往上一步,還是死路,但後退再往右一步,就又有路可以走。」


龐統從他說的位置出發,再畫一條長長的折線。程昱發問:

「鳳雛先生怎麼決定線往哪個方向前進呢?」
「不用決定,亂畫就好了。」

龐統邊笑邊一路畫下去,直到所有格子都被畫滿。


「每次遇到死路,就往回退,退到有可以畫的地方,再繼續亂畫。」

龐統對曹操解釋,他們臉上此刻壟罩的迷霧,比草船借箭時江上的大霧還濃。龐統拿出另一張比較薄的紙,墊在這張被畫得密密麻麻的紙上,開始描起來。

「凡是方格線和折線交錯的部分我都不描,只留下沒被交錯的格線,而這就是丞相該鎖鐵環的位置。」

龐統將描好的紙張一抖,只見原本完整的方格,如今剩下斷斷續續的線段。但仔細一看,原本方格端點上的7×7=49艘船,每一艘船都在藍色的連線上,沒有一艘船是獨立在江上漂浮。


「我刻意留了右上方作為船陣的出入口。諸位看,現在是不是可以少用很多鐵環了。這個綁法有效率到什麼程度:從一艘船走到另一艘船,除了繞到外圍,一定只有一條路線,絕對找不到第二條路線。」

龐統得意地說,這是他在數學圖論裡學到的知識。眾人用手指嘗試走走看,發出驚呼聲:「真的哎,不管哪兩個點,都只有一條路而已。」

曹操摸著鬍子,對這個設計頗為滿意。接下來是重點了,龐統雙手撐住桌緣,對曹操說:

「不僅如此,丞相請看,鐵鍊造成的船陣,將形成漂浮在江上的巨大迷宮。裏頭錯綜複雜,既可供士兵娛樂打發時間,又可展現我軍陣法之精巧玄妙。最重要的是,哪怕黃蓋是詐降,諒他在這巨大的移動迷宮中也找不到丞相的主艦。」

龐統算準曹操的喜性,投其所好,又一語道破對黃蓋投降的顧慮。至此,曹操再無顧慮。

曹操下席而謝曰:「非先生良謀,安能破東吳耶?」
統曰:「愚淺之見,丞相自裁之。」
操即時傳令,喚軍中鐵匠,連夜打造連環大釘,鎖住船隻。諸軍聞之,俱各喜悅。

各位可以想想,只是把船鍊起來,不暈船頂多就沒不開心,不會到「諸軍聞之,俱各喜悅」吧?答案很簡單,軍中這麼無聊,如今有了一個大迷宮可以玩密室逃脫,大家當然開心。

之後,龐統替曹操畫好了幾十萬水軍的迷宮圖,下船告別。回到東吳,龐統重畫出默背起的迷宮圖:

「這張給老將軍,到時候別迷路了。」
「有了此圖,我趴著也可以在曹賊水軍中來去自如。」
「老將軍那時屁股傷勢沒好,本來就是趴在船上。」

黃蓋與龐統兩人大笑。

就這樣,黃蓋順利衝入曹操水軍,反而是曹操這邊,每艘船彼此間只有一條道路,失火後,救火跟逃難的士兵在通道上相撞,亂成一團,數十萬水軍終究難逃付之一炬的命運。



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

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