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賴以威的數感演義

如何在廣大戰場中1小時救4人?看三國趙雲用數學進行即刻救援

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《三國志》記載趙雲身長八尺,姿顏雄偉,帥氣形象深植人心(圖/電玩《三國戰魂 Online》中的趙雲)


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。

 



滾滾長江東逝水,浪花淘盡英雄。

雖然《三國演義》開場這樣寫,但在歷史長河中,恰好是三國英雄沒被沖走,以小說、漫畫、電玩等形式保留在21世紀的日常中:劉備、曹操、孫權、諸葛亮、周瑜、司馬懿、張飛、關羽、張遼、呂蒙,我們不但熟悉他們的名字,腦海還會浮現出他們的樣貌。其中最接近偶像的完美形象人物,莫過於今天的主角——常山趙子龍。

《三國志》記載,趙雲「身長八尺,姿顏雄偉」,搭配電玩裡一身銀白盔甲、智勇雙全、人又帥的形象深入每個人心中。不僅如此,綜觀《三國演義》還會發現趙雲有一項超強的能力——即刻救援

趙雲的救援天賦從代表作「長坂坡救阿斗」開始展露。

《三國演義》第41回記載,劉備帶著百姓逃難,趙雲掉頭回去找阿斗,路上先救了受傷躲在草裡裝死的簡雍,再找到披頭散髮鞋子都沒穿的甘夫人,護送甘夫人出去時,順路搶回被俘虜的糜竺。把這一幫人送出去交給張飛,再回頭去找阿斗跟糜夫人。扣掉糜夫人投井,一趟下來救了4位蜀國大人物,還得到青釭劍這把武力加10點的神兵器。無怪後人有詩讚曰:「血染征袍透甲紅,當陽誰敢與爭鋒!古來衝陣扶危主,只有常山趙子龍。」

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電影《即刻救援》中的連恩‧尼遜營救人質身手讓人印象深刻。

之後,劉備拿下西蜀,與曹軍在漢中決戰,趙雲再度上演救援戲碼。第71回記載,黃忠在天蕩山斬了夏侯淵後趁勝追擊卻中了陷阱。留守在營區的趙雲等半天等不到黃老人家回來,只好打1999⋯⋯不,立刻連恩‧尼遜上身,披掛出征!

雲大喝一聲,挺槍驟馬,殺入重圍;左衝右突,如入無人之境⋯⋯張郃徐晃心驚膽戰,不敢迎敵,雲救出黃忠。救完黃忠後,士兵告訴他:「副將張著也被困住了!」趙雲像去接小孩放學一樣,再去救張著回來。算算,這是趙雲的「即刻救援」第三集。

第二集呢?第61回嫁給劉備的孫夫人(對就是你知道的孫尚香)打算抱著阿斗回東吳,第一個跳上船搶回少主的人,當然是趙雲!

§
趙雲能演出多次「即刻救援」的精彩場景,除了武藝高超,必然有其他過人之處,才能在大軍之中找到受困的戰友、小主公、受傷的主母、偷偷落跑的主母、以及躲在草裡的簡雍。

我們合理推論——趙雲有用數學計算「怎麼找人最有效率」。

長坂坡之役為例,趙雲的目標是找到阿斗。在軍中穿梭視野有限,只能靠問人。有問路經驗的人都知道,如果問得很複雜,對方講不出來,自己也不一定聽得懂,戰場上一片混亂,不可能在那邊慢慢指路:「看到那支有點歪掉的曹軍旗幟嗎?走到那裡再左轉,騎馬5分鐘,然後會看到一群死掉的士兵,再右轉⋯⋯

最多只能問出「左邊還右邊?」這種簡單的二分法。在僅知道左或右的情況下,趙雲執行了最有效率的搜索策略:將阿斗潛在的區域平均一分為二

為什麼平均一分為二是最有效率的搜索呢?請讓我們用以下的圖作解釋:

假設長坂坡戰場是一個正方形,趙雲從右上角衝進去,他沿著對角線往左下角前進,問沿路的士兵百姓:

「你有看到夫人跟阿斗在哪裡嗎?」
「左邊」、「右邊」、「左邊」、「左邊」

根據多數決是左邊,拿筷子的是右手,趙雲在心裡確認。

他衝到左下角頂點,轉過身來重新面對戰場,他知道阿斗跟夫人必然在右半邊的三角形裡,不需要再往左邊去。倘若趙雲沒沿著對角線前進,切出大小不一的兩塊區域,問出來阿斗在小區域,那是賺到。但要是阿斗在大區域,就有得慢慢找了。與其賭注式地分割,不如安穩地每次都將潛在區域一分為二。

鏡頭回到立馬於左下角的趙雲,他知道現在該做的是把右邊的三角平均一分為二。他策馬朝右往上26.6度的方向,瞄準戰場右側的中點前進。這樣被分割出來的左右兩個三角形,以右側為底,底邊等長,高是同一條,因此面積相同。

我們推測,或許他在這時救了甘夫人、糜竹,發現阿斗在左方。護送甘夫人後回到戰場,趙雲利用相似三角形與平行的概念,得知只要水平往左方衝刺,就可以再度將阿斗潛在的區域一分為二,這是他的第三次直線前進。前進到與第一次移動的路線重疊時,他知道阿斗不可能在更前面(前方是第一次就排除的區域)。趙雲轉彎,往右偏上26.6度,這是第四次的直線前進。碰到戰場邊緣後再轉彎,往下偏左45度,這是第五次直線前進。第六次垂直往上走,再來右轉。

總計,趙雲的搜尋路徑是由七趟直線前進所組成。

趙雲在心裡計算:每走一次直線就是將戰場一分為二,2次是1/4,七次下來,阿斗的潛在區域只剩下1/2的7次方=1/128,只剩下千分之八左右。

這樣到底多大呢?

旅遊網站「Trip advisor」的長坂坡描述如下:

長坂坡 Changban Hillside/在 7 家當陽市觀光中排名第 6/戰場, 古蹟, 景點與地標。
長坂這一地名,《三國志》相關出處皆寫做「長阪」……據史料記載,長坂公園周圍5公里的地方,都屬長坂坡古戰場遺址

邊長5公里,估計戰場約25平方公里。七次直線搜尋後約剩千分之八的面積,差不多是0.2平方公里。以最後剩下的面積是一個等腰直角三角形來看,我們可以求出這個三角形的底與高是630公尺左右。視力1.0的人可以看出6公尺外,只有1.75毫米的C開口在哪裡。只要趙雲視力再好一點或糜夫人再胖一點,應該是可以看見。當然,如果趙雲有散光或近視,再跑一次把阿斗潛在區域縮小到0.1平方公里就好了。

再來看看趙雲這趟搜索走了多遠。七次直線距離的加總:


約21公里的路程,以古代戰馬時速每小時40公里來計算,是31.5分鐘。再加上中間救了其他人(趙雲:「簡雍,你在這邊睡幹嘛?不冷嗎?」),可能大約1小時。25平方公里的混亂戰場中,只要1小時不到就能找到還在襁褓中的嬰兒,也是非常有效率,真不愧是連恩‧尼遜的大前輩。

 
§

最後,趙雲晚年也被困在敵陣中。第92回記載:

趙雲從辰時殺至酉時,不能得走出……八方弩箭交射甚急,人馬皆不能向前。雲仰天歎曰:「吾不服老,死於此地矣!」忽東北角上喊聲大起,魏兵紛紛亂竄。一彪軍殺到,為首大將持丈八點鋼矛,馬項下挂一顆人頭,雲視之,乃張苞也。

張苞的父親張飛是趙雲即刻救援前兩集的最佳男配角。第一集在長坂橋幫趙雲殿後,光用吼的就吼退了曹軍(改天來聊聊張飛的音量有幾分貝),第二次是趙雲隻身上船搶走阿斗,還好張飛追上來才截住孫夫人的船。

看來,趙雲把一身絕活傳給了故人之子。

(本篇文章感謝數感實驗室小編陳德元合力完成。)

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參考資料:
1.當陽長坂坡旅遊介紹
2.《三國演義》41回61回71回92回


*本文刊頭圖出自《三國戰魂 Online》



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

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