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賴以威的數感演義

關鍵是仰角啊!「轅門射戟」的幕後功臣如何助呂布一箭命中紅心?

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轅門射戢的成功是才+智的結果(圖/薛金擁油畫作品)


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。




卻說紀靈起兵長驅大進,已到沛縣東南,扎下營寨。晝列旌旗,遮映山川;夜設火鼓,震明天地。玄德縣中,止有五千餘人,也只得勉強出縣,佈陣安營。忽報呂布引兵離縣一里、西南上扎下營寨。—《三國演義第十六回》

呂布發信邀請紀靈跟劉備到他營寨開趴。張飛關羽阻止劉備:「大哥不能去,三姓家奴一定有問題。」

「我向來對他不錯,他不會害我的。」劉備自我感覺良好地說,關張二人一臉無奈,想著大哥可能得吃銀杏了,他們就算跟呂布現在表面上不錯,但以前可是大打出手過。

劉玄德掣雙股劍,驟黃鬃馬,刺斜裡也來助戰。這三個圍住呂布,轉燈兒般廝殺。—《三國演義第五回》

果然,到了呂布那兒,椅墊都還沒坐熱,士兵就通報:「袁術大將紀靈來訪!」更!竟然想害我!劉備轉身要落跑,呂布安撫他,「放心,是我同時邀請兩位來聊聊,不用起疑心。」

當了那麼多年的戰神,這回想改行當和事佬?劉備哪能不起疑心。

幾分鐘後來的紀靈有一樣的反應。他一看見坐在寨中的劉關張,第一直覺就是呂布跟他們合作,這是場鴻門宴。他掉頭就走,動作比去餐廳看到前女友在跟別人約會還快,左右士兵攔不住紀靈。

這時,只見呂布一個箭步衝上前,抓住紀靈後領,就像拎小孩一樣把他提回來。

靈下馬入寨,卻見玄德在帳上坐,大驚,抽身便回。左右留之不住。呂布向前一把扯回,如提童稚。

劉關張三人都看呆了。紀靈身為袁術大將,身高看起來跟張飛差不多,怎麼會被呂布像抓小孩似地玩弄。

劉備冷靜下來想了想,好像也合理。呂布身高1丈,當時1丈為231公分。1丈有10尺,關羽、張飛、劉備三人身高各是9尺、8尺、7尺5,換算起來也都有208公分,185公分、173公分。就算紀靈有將近8尺,也矮呂布快50公分。

眼前的人是當年在虎牢關三打一也打不贏,是光靠一身武功就能影響全天下的戰神呂布。

劉備再次確認了這個事實。

§
酒宴在眾人一頭霧水下開始。喝了幾輪酒,呂布開口說:「兩邊看在我的面子上,這場戰就不要打了吧。」

紀靈立刻反對,指著劉備大聲說:「我奉主公命令帶十萬兵來抓他,怎麼可能說不打就不打。」

紀靈的語氣彷彿劉備已經是他的囊中之物,說抓就抓。張飛氣得拔劍怒罵:「我們雖然兵少,俺卻一點也沒把你放在眼裡,你敢動大哥俺就——」

兩人吵起來,呂布揮揮手,「我是來排解你們,不是來擺擂台給你們打架的。」

但這話顯然沒什麼用,張飛跟紀靈還是沒完沒了,滿腦子都準備來一場互相傷害。呂布耍帥不成,氣得叫左右士兵取來他的方天畫戟。眾人愣住,是怎樣,現在要大亂鬥嗎?呂布跟大家說:

要打不打,交給老天爺決定吧。

他命令士兵把方天畫戟插到軍營大門(轅門)口,士兵回報:「走去一趟是150步。」

呂布點點頭,對眾人說:「我如果一箭射中畫戟上的那一小支,就是老天要你們休兵。如果沒中,你們就去打個痛快。要是誰不聽我這番決定,我就立刻跟另一方合作。」

紀靈心想, 1步大概65~70公分,150步少說也有100公尺,從這邊看過去戟小支比一顆花生米還小,怎麼可能射中。

劉備畢竟比紀靈多讀了點書,他已經察覺到整件事情是呂布精心策畫。

不,與其說是呂布,不如說是呂布的軍師陳宮。陳宮評估保住劉備對他們最有利益,但又不能公開得罪袁術,所以才想了這個看似交給上天決定的轅門射戢。

「射戢的難度雖然高,但呂布的箭術本來就很好,臂力夠,精準度也高。加上陳宮的幫忙……」

劉備低聲問關羽,軍中沒軍師,大小事向來都是他們兩兄弟討論。關羽想了想說:「根據虎牢關的決鬥經驗,方天畫戟的小戟位置跟呂布此刻舉弓試射的高度差不多,先不考慮空氣阻力,這顯然是斜拋運動,起始點跟終點的垂直位置相同。呂布的臂力跟我差不多,射出去的箭速每秒應該有50公尺。」

劉備想,如果今天呂布的箭是水平射出去,箭2秒就到,只是根據重力加速度每秒10公尺(註),垂直距離降低20公尺,早就射到土裡去了,除非是站在瞭望台上。

劉備知道陳宮在這場大戲裡的角色了,他不僅策畫轅門射戟,還用數學協助呂布射中。身為曹操都肯定的謀士,陳宮的能力一定能幫呂布算出理論上仰角應該要幾度,才能順利射中畫戟。一想到這裡,劉備躍躍欲試,如果他也能算出來,那不就表示他智力能追上陳宮嗎?

「關鍵是弓箭往上的仰角。」

劉備說,他不會三角函數,只好用上唯一知道的邊長(3,4,5)直角三角形。

「如果呂布往上射的角度是37度,剛好水平方向的速度、垂直方向的速度、跟原本射箭的速度每秒50公尺形成(3,4,5)的直角三角形。水平速度是40m/s、垂直速度是30m/s……」

關羽否定了劉備的猜測。

「可是這樣2.5秒就跑了100公尺。但垂直方向每秒速度減慢10m/s,初速是往上30m/s,2.5秒後依然還有30-2.5×10=5m/s。箭會一直往上飛噢。」

的確,眼前呂布弓箭雖然朝上,幅度卻不大。劉備想破了頭還是想不出來,只見呂布右手一放,箭像流星似地在空中畫出一道完美的拋物線,正中畫戟。

\\轅門射戟的影片場景//

後人有詩讚曰:

溫侯神射世間稀,曾向轅門獨解危。落日果然欺後羿,號猿直欲勝由基。虎筋弦響弓開處,雕羽翅飛箭到時。豹子尾搖穿畫戟,雄兵十萬脫征衣。

劉備對呂布命中的結果不感到意外,畢竟是人中呂布,後面又有陳宮扮演了「智」的角色。紀靈則睜大了眼睛不敢置信,張飛在一旁跟關羽低聲說:「他都嚇成這樣了,眼睛睜還是沒俺大。

關羽用手肘推了張飛一下。過了半响,紀靈才說:「呂布將軍的話我不敢不聽,但回去要我怎麼跟主公交代?」

呂布斟了一大觥的酒給紀靈,笑說:「別怕,我寫信跟你老闆說。」

又喝了幾杯,紀靈實在沒興趣再待下去,跟呂布要了信就打道回府。

劉備跟呂布再三道謝,雖然危機解除了,但卻沒辦法發自內心開心起來。到底陳宮是怎麼算的,全天下又有多少人能跟陳宮一樣,在給定初速度、距離的情況下,能夠算出斜拋的角度該多少。

「搞不好天底下只有陳宮一個人會算吧。」關羽安慰大哥。

他們倆不會知道,1800年後的夷洲小島上,每一位十七歲的高中生都被要求要具備陳宮的能力,令初速度為v、重力加速度g、距離s,則斜拋角度θ符合下列公式:


帶入數值,求出呂布弓箭的傾斜角度為arcsin(2/5)/2/pi*180,約是12度。

正當劉備與關羽在討論斜拋運動時,張飛腦袋裡還在想著別的事情:紀靈這小子敢用這種態度對大哥,他死定了。

又過了一陣子,劉備奉曹操之命攔截要去投靠袁紹的袁術,

正迎著先鋒紀靈至。張飛更不打話,直取紀靈。斗無十合,張飛大喝一聲,刺紀靈於馬下—《三國演義第二十一回》

張飛終於把紀靈從他的死亡筆記本上移除了。


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註:考生請用每秒9.8公尺。



作者簡介

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》《超展開數學約會》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。
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