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賴以威的數感演義

幾個臭皮匠才能勝過一個諸葛亮?數學驗證的答案超乎想像!

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(因為對手太弱)一點都不激烈的舌戰群儒現場(圖/戴敦邦四大名著畫集


我們喜歡看歷史故事,不同角色在時代的舞台上粉墨登場,激盪出燦爛絢麗的火花。
我們討厭算數學題目,不同公式在抽象的課本中擠成一團,編織成堅硬無趣的知識。
但你凝神一看,歷史故事裡處處是數學題目,好些細節不靠數據分析還揪不出來。
歷史故事看得多,數學題目做得少。這次讓我們平衡一下,來一段數感演義。

 



在《三國演義》塑造下,幾乎所有人腦海裡都有這道等式:

諸葛亮=天才

書中諸葛亮運籌帷幄,天下大勢流動都在他掌握之中。好比草船借箭,僅僅用了20餘艘小船和簡單的數學相似形、比例觀念,就從曹操手中賺到10萬餘隻箭。

另一個讓人津津樂道的場景同樣發生在赤壁之戰,草船借箭之前——舌戰群儒。且看三國演義第四十七回:

肅乃引孔明至幕下。早見張昭、顧雍等一班文武,二十餘人,峨冠博帶,整衣端坐。孔明逐一相見,各問姓名。施禮已畢,坐於客位。
(中略)
眾人見孔明對答如流,盡皆失色。

中略的2,236字中,孔明戰了張昭(1060字)、虞翻(217字)、步騭(141字)、薛綜(243字)、陸績(235字)、嚴畯(160字)、程德樞(180字)。就算連描述場景的字數也算進去,再假設每個人講話速度都放慢到一秒2字(正常約一秒3字),和張昭舌戰的時間約9分鐘,其他人都只有2分鐘左右,步騭更短到只有1分鐘,盤坐站起來腳麻還沒好又坐下去了

基本上除了張昭還能說上一整段,其他人三言兩語內就被孔明KO。

這7人可不是尋常老百姓,是東吳重要的文官集團代表人物,張昭更是孫策臨終前所說「內事不決問張昭,外事不決問周瑜」,和周瑜併肩的東吳重臣,但在孔明手下完全討不到好處。

舌戰群儒讓我們看到孔明一打多的卓越實力,就算7個聰明人也贏不了孔明。然而,小時候分組活動想不出答案時,老師又常勉勵我們:

「多想一想,討論一下啊。俗話說三個臭皮匠,勝過一個諸葛亮。」

先暫時不提被比做臭皮匠一點都開心不起來(還是說了)這件事。把這句俗諺跟舌戰群儒放在一起,你或許也會看到令人困惑之處:一群普通人集思廣益,是否能夠勝過一位天才呢?

§
我們先來看看,據說臭皮匠其實應該是「裨將」:

自什以上,至於裨將,有不若法者,則教者如犯法者之罪。──《尉繚子•兵教上》

裨將是偏將、副將的意思,乃軍中地位相對較低的將領,以開會來說,大概是連座位都沒有,只能站在角落,不小心還會被鏡頭喀掉半個臉,或是被營火燙到的人

這樣的人只要3個就能勝過諸葛孔明。

這話仔細想想實在經不起檢驗,如果是這樣,三國各路諸侯只需要各找3個裨將組成偶像團體就好了,劉備又何必三顧茅廬求得臥龍出山。

但口說無憑可能有人不服氣,我們用數學來檢驗一下:

首先,所謂「勝過」是指想出更聰明的計策。其次,設定諸葛亮的智商是180(註一)。裨將們經過非常嚴格的人資篩選,全體是智商100的普通人。

然而,「想法」除了智商以外,還取決於靈感。普通人偶爾也會想出超群的主意(像我在追老婆的時候大爆發,各種驚喜策劃源源不絕),天才也有不靈光或計算錯誤的時候。我們用隨機變數來模擬這個思考的過程。不太清楚隨機變數的朋友沒關係,你就想像每個人腦袋裡都有一顆骰子,擲出來的點數越高,表示想出來的主意越棒

平凡如我輩的裨將,腦海裡的骰子是(1,2,3,4,5,6),但諸葛亮的骰子可能是(5,6,7,8,9,10)。換句話說,唯有諸葛亮失手擲出5點,且裨將運氣超好骰出6點,才會發生裨將想出比諸葛亮還棒的主意。這樣的機率是:

1/6×1/6=1/36

只有約2.8%的機率。

若是三位裨將集思廣益,則是大家先各自出一個主意,再看看誰的主意好,採用那個主意。用骰子的觀點可以想成「擲三次,取最大的那次」(註二)

而「三個臭裨將勝過一個諸葛亮」的機率就成了擲三次(1,2,3,4,5,6)骰子至少出現一次6點,且擲(5,6,7,8,9,10)骰子出現5點的機率。

前者可以用全部扣掉三次都沒出現6點,答案是:

1-(5/6)3=42%

乘上後者機率1/6,可以得到約7%的機率。

可以看到,三個裨將集思廣益的確對事情有幫助,但勝過孔明的機率提升不到3倍。就算是十個裨將,在這個例子中勝過的機率也只有:

(1-(5/6)10)/6=14%

更殘酷的是,裨將跟孔明腦袋裡的點數面額可能差距更大,說不定他們腦袋裡是一顆正二十面體的骰子,孔明的二十面裡只有一個最小的五點,裨將們大於五點的也只有一個面。這樣三個臭皮匠勝過一個諸葛亮的機率頓時變成:

(1-(19/20)3)/20=0.7%

下降了十倍。

腦海裡的骰子長什麼模樣,跟剛剛一開始說的智商有關。

§
回到一開始的智商假設,裨將智商100,想出來的主意剛好符合標準差15的常態分佈。這也是新版智商的標準定義(全世界人們平均智商100,標準差15)。標準差用來描述「擴散」的程度。以常態分佈來看,有約68%的機率落在一個標準差以內。也就是說,裨將有68%的機率的表現,會讓他看起來像是個智商85~115的人。5%的機率會有兩倍標準差的表現,也就是說會看起特別聰明,智商高達130,或是特別笨,智商低於70。

跳過繁瑣的計算,三位裨將合力思考,平均來說相當於一位智商112.69的人,根本只進步一點點,跟正常發揮的智商180諸葛孔明完全無法比擬。從這個角度來看,也可以知道為什麼張昭等東吳7杰一起也無法舌戰勝過孔明。智商差距太大,就算多幾個人也沒用。當然,這邊要稍微說明一下,我們假設這幾位裨將彼此之間是競爭的關係,不願意合作討論,一起演化出一個更好的主意。如果會互相協助,把幾個想法揉合在一起,那的確會有效提升想出主意的品質。

但如果增加到300位裨將,挑出他們想到的最棒點子,這樣的做法平均來說,大約同等於智商143.17的人來思考,有了實質上的進步,但距離智商180的孔明還是有一段差距。這位智商143的軍師思考出來的主意去跟孔明較量,在前者有極度優秀的表現,且後者失常的情況下,大約有1.2%的機率會贏過孔明。

還是很低。

一代軍師-諸葛亮(上下)

一代軍師-諸葛亮(上下)

換個思考方式,到底要集結多少人,才能成為一位「平均來說」智商超過180的超級軍師呢?根據軟體Mathematica計算結果是10,270,164,大約是一千萬位裨將才行!《三國演義》第七十回,張郃打了敗仗,曹洪氣得要斬了他時,郭淮說了這麼一句話:

三軍易得,一將難求。

這句話放在軍師身上更是貼切,得到一位智商180的諸葛孔明輔佐,相當於有一千萬名裨將替你出主意。更麻煩的是,後者就算好不容易蒐集完了一千萬份資料,你要找誰來幫你判斷出哪個主意最好呢?

「三矢之訓」告訴我們,三隻箭矢綁在一起比較不容易折斷,正確;
「三人成虎」告訴我們,三個人一起說謊比較有人相信,正確;
「三人行必有我師焉」告訴我們,身旁的人總有值得我學習之處,這也正確;
「三個臭皮匠勝過一個諸葛亮」告訴我們,集思廣益也能想出贏過天才的想法。

這是對平凡人的安慰之詞而已。

(本篇文章與每日一冷科宅編共同完成。)

/////
註一:本篇中諸葛亮的智商設定毫無文獻支持,純粹為趣味推廣數學之假設。
註二:這其實牽涉是與保險業息息相關的「極端值理論(Extreme value theory, EVT)」,使用的是機率裡的「順序統計量」概念。



賴以威

數學作家、譯者,認為數學不只是助眠跟考試工具,而是一種精準描述的語言。理解數學,就能用另一種更理性與特殊的角度來理解世界。文章散見於《聯合報》《國語日報》《未來少年》數學專欄,著書有《超展開數學教室》《葉丙成的機率驚艷》《再見,爸爸》《超展開數學約會》,曾獲時報文學獎(書簡組),菠羅科學獎(數學)。

2017年OKAPI全新推出:賴以威專欄【數感演義】(歡迎至網頁右上角點選訂閱OKAPI電子報)

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